数学

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図形と方程式の基本7|円と直線の共有点

図形と方程式の基本6|円の方程式】の続きです.

前回までの記事で,直線の方程式と円の方程式について一通り書きました.

次は,直線と円の関係について考えます.円と直線の位置関係は,

  1. 直線と円がちょうど2つ共有点をもつ
  2. 直線と円がちょうど1つ共有点をもつ(接する)
  3. 直線と円が共有点をもたない

の3種類あり,直線の方程式と円の方程式が与えられたとき,上の1~3のどれになるのかを判別出来るようになっておかなければなりません.

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図形と方程式の基本6|円の方程式

形と方程式の基本5|2点間の距離,点と直線の距離】の続きです.

前回の記事までで,xy平面上の点や直線に関する性質について説明しました.

「円」は「中心の位置」と「半径」が分かれば描くことができます.これは,コンパスで円を書くことをイメージすれば分かりやすいでしょう.

一般に,xy平面上の中心(x_1,y_1),半径rの「円の方程式」は

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2

と表されます.この記事では,xy平面上の「円」について説明します.

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図形と方程式の基本5|2点間の距離,点と直線の距離

図形と方程式の基本4|2直線の関係】の続きです.

この記事では,xy平面上で,「2点が与えられたときの『2点間の距離』」と「1点と1本の直線が与えられたときの『点と直線の距離』」について書きます.

「2点間の距離」は中学校でも習っているはずで難しくはないのですが,「点と直線の距離」の公式は式の形が少し複雑で嫌いな人が多いようです.

ベクトルを使うと「点と直線の距離」の公式の意味を理解することもできますが,この記事では公式を導出するに留めます.

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図形と方程式の基本4|2直線の関係

図形と方程式の基本3|直線の方程式の導出】の続きです.

前の記事では,条件が与えられたときの直線の方程式の導出法について説明しました.

この記事では,2本の直線があったとき,この2本の直線が平行であったり垂直であったりしたときの,2つの直線の方程式の関係について書きます.

また,ここからxyの連立1次方程式が解をもつ条件などが得られます.

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図形と方程式の基本3|直線の方程式の導出

図形と方程式の基本2|直線の方程式】の続きです.

前の記事では,xy平面上の一般の直線の方程式がax+by+c=0 (abの少なくとも一方は0でない)で表せることを説明しました.

この記事では,条件が与えられたときの直線の方程式の導出法について説明します.

  1. 直線の「傾き」と「通る1点」が分かっている場合
  2. 直線がy軸に平行な場合
  3. 直線がx軸に平行な場合

の3つが基本的な場合で,これらの場合には,直線の方程式は直ちに求められます.ほかの場合は,この3つのいずれかに帰着させて考えます.

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図形と方程式の基本2|直線の方程式

図形と方程式の基本1|内分点と外分点】の続きです.

直線の方程式は中学校でも学習しますが,実は中学校で主に扱われる直線y=ax+bは一般的な式ではなく,y=ax+bでは表せない直線が存在します.

高校ではy=ax+bでは表せない直線も表すことができる一般の直線の方程式を学びます.

また,直線の方程式は「図形と方程式」の分野でも基本ですから,確実に押さえてください.

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図形と方程式の基本1|内分点と外分点

「図形と方程式」は「なんとなく分かるけど,計算が多いし面倒だ」という人が多い分野です.とくに,「図形と方程式」の最後に習う「軌跡と領域」は,計算して図を描けば終わり,と考えている人も多いようです.

たしかに,そういった傾向があることは否定できません.

しかし,それでは「結局なんだかよく分からない」という感想を持つことにもなり,きちんとした理解が必要となる標準レベル以上の問題になると解けない,といった状況になりかねません.

計算に一生懸命になって,本質を見落としがちな分野ではありますが,きちんとした理解も同時に養ってください.

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