数学

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無限級数1|「無限級数」と「数列の極限」

無限級数は「数列の極限」が絡んでくるので数IIIの内容です.

「無限級数」とは「数列の項を無限に足し合わせたもの」というのが簡単なイメージです.

しかし,「無限に足し合わせる」という操作は数学では「極限」を使って定式化するため,「無限級数」は「極限」の分野に入ることになります.

また,「無限級数」というと身構える人も多いのですが,結局は「無限級数」も「数列の極限」と変わりません.しかし,初めて習う人は「無限級数」に戸惑うことも多いようです.

この記事で,「無限級数」が「数列の極限」に思えるようになってください.

参考カテゴリー:数列

参考記事:極限の基本2 ―「関数の極限」と「数列の極限」の違い―

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極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の違い

前の記事「極限の基本1 ―lim(リミット)は何を意味しているのか―」の続きです.

あまり意識はしないかも知れませんが,実は「関数の極限」と「数列の極限」には少し違いがあります.

しかし,この両者の本質はほとんど同じで,実際にはそこまで意識しなくても同じように解けてしまう問題も多いのですが,この違いが分かっていないと間違えてしまう問題も存在します.

高校数学ではこれらは別々のものとして教わることが多いですし,そう考える方が分かりやすいと思います.なので,この記事でもそれぞれを別のものとして捉え,その違いを説明します.

なお,「数列の極限」は実は数IIIの範囲なのですが,京都大学の2015年度入試の文系数学において数列の極限が出題されました.

しかし,「文系数学での数列の極限を出題するのはダメだ!」という声は聞きませんでしたし,出題されてもほとんどの文系受験生は気付かずに普通に解こうとするはずです.

ですから,文系受験生もいざという時のためにこの記事の内容を頭の片隅に置いておいても損はないでしょう.

一方,理系受験生は「数列の極限」も「関数の極限」も範囲内ですので,この違いを押さえておくことが望まれます.あまり意識してこなかった人は是非押さえておいてください.

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極限の基本1|lim(リミット)は何を意味しているのか

「極限」には「関数の極限」と「数列の極限」の2つがありますが,この記事では数IIで習う「関数の極限」について扱います.

「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが,これについては次の記事で書くことにします.

平たくいえば,「関数の極限」とは,関数f(x)xをある実数aに近付けたときに,関数f(x)がどのような値に近付くのか,ということです.

とくに文系の人にとって,極限の概念は「で,それがどうしたの」な概念の1つです.しかし,極限は「縁の下の力持ち」的な概念で様々なところに登場してきますから,しっかり理解しておくことが大切です.

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鳩の巣原理の基本と使い方

数学で重要な定理の一つに,「鳩の巣原理」というものがあります.「引き出し原理」「ディリクレ(Dirichlet)の箱入れ原理」と言う人もいるようですが,すべて同じものです.

鳩の巣原理とは?

鳩の巣原理は例えば次のような定理です.

「血液型は4種類しかないので,人が5人いればこの中に同じ血液型の人がいる」

4人まではその中の全員の血液型が異なることはありますが,5人以上になると必ず同じ血液型の人が存在しますね.

同様に,「n個のものをA_1,A_2,\dots,A_mとm種類に分けるとき,n>mならばA_1,A_2,\dots,A_mの少なくとも1つには2個以上含まれている.」というのが鳩の巣原理です.

血液型の例では「5人をA型,B型,AB型,O型と4種類に分けるとき,5>4なのでA型,B型,AB型,O型の少なくとも1つは2人以上いる」ということです.

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背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例

前の記事「背理法1 ―背理法を物語風に説明してみました―」の続きです.

前回の記事では,「背理法」の基本的な考え方を説明し,実際に簡単な問題を解きました.

この記事では,どのようなタイプの証明に「背理法」が有効なのかを説明します.また,その理由も説明します.

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背理法1|背理法の仕組みと例

数学の証明には色々な論法が用いられますが,その中でも「背理法」は非常に重要な証明法です.

「背理法」は本質には「命題とその対偶の真偽は一致する」という事実があります.(参考記事:論理と集合の基本5 ―「逆,裏,対偶」と対偶の利用―)

細かい話は抜きにして,実用的には \sqrt{2}が無理数である」「素数は無限に存在する」などの事実の証明に用いられます.他には受験数学で有名な<b style="color: red;"> </b>\tan{1^{\circ}}は無理数か.」という京都大学の過去の入試問題も背理法を使って解きます.

この記事ではまず「背理法」がどんな論法なのかを説明し,次の記事で「背理法」がどのような証明に対して有効なのかを説明します.

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線分を等分する作図法

線分を等分する作図法について説明しています.

数分の動画なのでサクッと見てください.

動画では6等分していますが,3等分でも4等分でも100等分でも同様に作図できます.

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