数学

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数列の基本4|階差数列の一般項と和の公式

数列の基本3|1乗和,2乗和,3乗和の公式と導出】の続きです.

階差数列に苦手意識をもっている人は少なくないようです.しかし,階差数列そのものが難しいというより,「公式が理解できない」といった理由であることが多いです.

しかし,階差数列はイメージを持っていれば,至って自然な公式であることが分かります.

確かに,見た目はごつい印象を受ける公式ですが,苦手意識を持っていた人は,この記事で不安を解消してください.

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数列の基本3|1乗和,2乗和,3乗和の公式と導出

[動画解説あり]

前の記事【数列の基本2|等差数列と等比数列の和の公式】の続きです.

等差数列の和,等比数列の和は前回の記事で扱いました.他に数列の和で重要なものに1乗和,2乗和,3乗和があります.

1乗和1+2+3+\dots+n,2乗和1^2+2^2+3^2+\dots+n^2,3乗和1^3+2^3+3^3+\dots+n^3nを用いて表せるようになっておかなければなりません.

なお,1乗和の導出は簡単で,さらに3乗和は1乗和の2乗になっているので,実質的に覚えるのは2乗和だけで十分です.

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数列の基本2|等差数列と等比数列の和の公式

[動画解説あり]

前の記事【数列の基本1|等差数列と等比数列の一般項】の続きです.

数列の中でも,等差数列と等比数列は非常に基本的です.

初項をa,公差をd,公比をrとすると,等差数列の一般項はa+(n-1)d,等比数列の一般項はar^{n-1}と表せることは前の記事に書きました.

この記事では等差数列の和,等比数列の和を考えます.

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数列の基本1|等差数列と等比数列の一般項

[動画解説あり]

「数列はなんとなく苦手……」という人は多いようです.

しかし,数列はイメージを持って考えれば,小学生にでも理解できる分野です.実際,中学入試などでは,いくつか数字が並んでいて,四角の中に適切な数字を入れる問題はよく出題されます.

これはまさに数列の問題です.

さて,簡単に言えば,「数列」とは「一列に並べた数の列」です.

「数列」は他の分野にも絡んで出題されることがよくありますから,数列は基本的な道具として使えるようになっておくことが望まれます.

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条件付き確率の基本

「条件付き確率」は直感に合わない人が少なくないようで,確率を勉強するときに避けられがちです.直感に合わない上に,追い打ちをかけるように「公式が~」と言われるともう嫌になってしまう人が多いようです.

この記事では条件付き確率の具体的な問題を扱い,その「間違った考え方」と「正しい考え方」を解説します.そして,「間違った考え方」が間違っている理由を,他の分かりやすい例を用いて説明します.

また,同時に多くの人が苦手とする「同様に確からしい」という概念についても説明します.

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対称式の基本|基本対称式を利用する

高校数学では「対称式」がよく現れます.

xyの対称式」とはxyを入れ替えてももとの式と等しくなるような多項式のことをいいます.これは「(2次方程式の)解と係数の関係」に絡んで出題されることも多くあります.

対称式に対しては,「対称式は基本対称式の和,差,積で表せる」という定理があり,これはとても強力で必ず使えるようになっておきたい定理です.

与えられた式が対称式であることに気付けば,瞬時に計算ができることもあります.逆に,対称式であることに気付かなければ,面倒な計算が必要になることが多いです.

このように,対称式が扱えるかどうかで,大きなさになりますから,この記事できっちり対称式を身につけてください.

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無限級数4|1=0.9999……は正しい?

無限級数3|無限等比級数の収束条件】の続きです.

この記事はコラム的な内容で,”0.999\dots“と小数第1位以下で無限に9が続く数と”1“が等しいのかどうかを考えてみます.

初めて聞いた人は「いやいや,どう見ても等しくないやろ」「等しそう」「うーむ,分からぬ……」と様々な考えが浮かぶと思います.

「無限級数」の知識がなければ”0.999\dots“の”\dots“の意味が曖昧なので手放しで正しいとは言い難いのですが,”1=0.999\dots“は実は正しいです.

「マジでか……」と衝撃を受ける人もいるかもしれませんが,この記事を読んで「なるほど」と思ってもらえれば嬉しく思います.

なお,途中からは無限級数の話に移っていくのですが,それまでは算数の知識さえあれば読めるので深く考えずにサクサク読んでください.

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