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式の計算の基本6|因数定理と剰余の定理

  
   

式の計算の基本5|多項式の割り算】の続きです.

2次式の因数分解は前々回の記事までで説明しましたが,3次以上の多項式の因数分解をどのようにすれば良いのかをこの記事で考えてみます.

そのポイントとなる「因数定理」には苦手意識のある人が少なくありません.しかし,「因数定理」は決して難しいものではなく,一度分かってしまえばある意味当たり前とすら思えるものです.

また,「因数定理」から導かれる「剰余の定理」も非常に重要です.

教科書では「剰余の定理」→「因数定理」の順に説明されているのですが,因数定理の方が直観に合いやすく理解しやすいので,この記事では「因数定理」→「剰余の定理」の順に説明します.

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因数定理

まず,確認しておきたいのは次の事実です.

[事実] 多項式f(x)と定数aに対してf(x)x-aを因数にもつとき,すなわち

f(x)=(x-a)g(x) (g(x)は多項式)

と表せるときf(a)=0となる.

これは当たり前です.

たとえば,f(x)=(x-1)(x^2+x+1)のとき,f(1)=0ですね.これはx-1x=1を代入すると0になることから分かります.

このように,「f(x)=(x-a)g(x)と表せていればf(a)=0となる」というのが[事実]で書いたことです.

さて,本題の「因数定理」ですが,「因数定理」は上の[事実]の逆です.つまり,

[因数定理] 多項式f(x)と定数aに対してf(a)=0となるとき,f(x)x-aを因数にもつ.すなわち,f(x)

f(x)=(x-a)g(x) (g(x)は多項式)

と表せる.

が「因数定理」です.

直観的に言えば,「aを代入して0になるんやから,f(x)x-aを因数にもつはず!つまり,f(x)=(x-a)g(x)と表せるはず!」ということです.

それでは,因数定理の照明の前に,具体例を考えてみます.

因数定理の例1

x^3-6x^2+11x-6を因数分解します.この3次式にx=1を代入すると,

1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6=1-6+11-6=0

となるので,因数定理よりx^3-6x^2+11x-6x-1を因数にもつことが分かる.x^3+4x^2-5x-1で割ると,

\begin{matrix} &&x^2&-5x&-6&\\ \cline{2-6} x-1&\!\!\!\big)&x^3&-6x^2&11x&-6\\ &&x^3&-x^2&&\\ \cline{2-6} &&&-5x^2&11x&-6\\ &&&-5x^2&5x&\\ \cline{2-6} &&&&6x&-6\\ &&&&6x&-6\\ \cline{2-6} &&&&&0 \end{matrix}

なので,商はx^2-5x-6,余りは0となります(x-1を因数にもつことが分かっているので,余りが0なのは当たり前です).つまり,

x^3-6x^2+11x-6=(x^2-5x-6)(x-1)

です.さらに,2次式x^2-5x-6は次のように因数分解できます.

x^2-5x-6=(x-3)(x-2)

したがって,

x^3-6x^2+11x-6=(x-3)(x-2)(x-1)

が分かります.

因数定理の例2

3x^3-7x^2-7x+3を因数分解します.この3次式にx=-1を代入すると,

3\cdot(-1)^3-7\cdot(-1)^2-7\cdot(-1)+3=-3-7+7+3=0

となるので,因数定理より3x^3-7x^2-7x+3x+1を因数にもつことが分かる.3x^3-7x^2-7x+3x+1で割ると,

\begin{matrix} &&3x^2&-10x&3&\\ \cline{2-6} x+1&\!\!\!\big)&3x^3&-7x^2&-7x&3\\ &&3x^3&3x^2&&\\ \cline{2-6} &&&-10x^2&-7x&3\\ &&&-10x^2&-10x&\\ \cline{2-6} &&&&3x&3\\ &&&&3x&3\\ \cline{2-6} &&&&&0 \end{matrix}

なので,商は3x^2-10x+3,余りは0となります.つまり,

3x^3-7x^2-7x+3=(3x^2-10x+3)(x+1)

です.さらに,2次式x^2-5x-6は次のように因数分解できます.

3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3)

したがって,

3x^3-7x^2-7x+3=(3x-1)(x-3)(x+1)

が分かります.

因数定理の証明

「因数定理」の証明はとても簡単で,多項式の割り算が分かっていればすぐに導出できます.

上の「因数定理」の直感的な説明が理解できていれば,「因数定理」は明らかだと思えるはずです.そこで,「背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例」で書いたように,「当たり前なことの証明は背理法」というセオリーを使おうと思います.

[因数定理] 多項式f(x)と定数aに対してf(a)=0となるとき,f(x)x-aを因数にもつ.

[証明]

背理法により示す.すなわち,f(x)x-aを因数にもたないと仮定して矛盾を導く.

f(x)x-aで割ると,

f(x)=(x-a)g(x)+c

となる.ただし,g(x)は多項式(商)で,cは定数(余り)である.

もしc=0ならf(x)x-aで因数分解できていることになり,f(x)x-aを因数に持たないことに反するから,c\neq0である.よって,

f(a)=(a-a)g(a)+c=c\neq0

となるが,これはf(a)=0に矛盾する.よって,f(x)x-aを因数にもつ.

[証明終]

この証明は当たり前に思えて欲しいところです.

剰余の定理

「因数定理」の説明が終わったので,「剰余の定理」の説明に移ります.「剰余の定理」とは次の定理です.

[剰余の定理] 多項式f(x)x-aで割ったときの余りはf(a)である.

上の「因数定理」の証明の中で,

f(x)x-aで割ると,

f(x)=(x-a)g(x)+c

となる.

と書きましたが,「このcが実はf(a)である」というのが「剰余の定理」です.

「で?」

と思う人も多いかも知れません.しかし,余りを求める問題では「剰余の定理」は非常に強力な武器になります.

それでは,具体例を使って説明します.これらの例の余りを実際に多項式の割り算をして求めるのとでは天と地ほどのスピードの差が出ます.

剰余の定理の例1

x^3-6x^2-4x+3x-5で割った余りは,剰余の定理より,

5^3-6\cdot5^2+4\cdot5+3=125-150+20+3=-2

である.

剰余の定理の例2

3x^4-4x^2-2x+7x-2で割った余りは,剰余の定理より,

3\cdot2^4-4\cdot2^2-2\cdot2+7=48-16-4+7=35

である.

剰余の定理の証明

「剰余の定理」の証明も簡単です.というより,「因数定理の証明」の中でほとんど証明されています.ですが,一応「剰余の定理」の証明を見てみます.

[剰余の定理] 多項式f(x)x-aで割ったときの余りはf(a)である.

[証明]

f(x)x-aで割ると,

f(x)=(x-a)g(x)+c

となる.ただし,g(x)は多項式(商)で,cは定数(余り)である.したがって,

f(a)=(a-a)g(a)+c=c

だから,f(x)x-aで割った余りcf(a)である.

[証明終]

式の計算の基本7|解と係数の関係】に続きます.

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