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微分の基本２｜導関数の定義と直感的イメージ

　　
　　　

【微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味，接線の定義】の続きです．

関数y=f(x)のx=aでの微分係数は，y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))を通る直線の平均変化率の極限として定義され，f'(a)と表すのでした．

すなわち，式で書けば，

f'(a)=\li_{h\to 0}\f{f(a+h)-f(a)}{h} \bra{=\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}}

で定義されるのでした．

さて，この記事では微分係数から自然に定義される導関数の基本と，導関数の性質について説明します．

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導関数の定義

関数y=f(x)は各xで微分係数が存在するとします．つまり，図形的にはy=f(x)のグラフはどのxでも「とんがって」おらず，接線が考えられるとします．

このとき，y=f(x)の各xでの微分係数を対応させる関数をf(x)の導関数といいます．つまり，

[定義(導関数)]　関数f(x)に対して，任意の実数aに対して，x=aで導関数が存在するとする．このとき，

f'(x)=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}\bra{=\li_{b\to x}\f{f(b)-f(x)}{b-x}}

で定まる関数f'(x)をf(x)の導関数といい，導関数を求めることを微分するという．また，関数y=f(x)に対して，f'(x)はy',\f{dy}{dx},\f{df}{dx}(x)とも表す．

微分係数の定義は次の通りでした．

[定義(微分係数)]　関数f(x)と実数aに対して，

\li_{h\to 0}\f{f(b)-f(a)}{b-a}\bra{=\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}}

が存在すれば，この値を「関数f(x)のx=aにおける微分係数」といい，f'(a)と表す．

[定義(導関数)]と[定義(微分係数)]の大きな違いはxが固定されているか，されていないかです．

微分係数はxをx=0やx=1などと固定したときの極限です．

一方，導関数はxをx=0やx=1などと固定せずに考える極限です．

導関数のイメージ

今まではx=aとxをaに固定して微分係数を考えていました．しかし，微分係数は特別なaだけではなく，様々なxで考えられます．

しかし，いちいちaを1つに定めて微分係数を計算するのは面倒です．

どういうことかというと，たとえばf(x)=x^2に対して，f'(1)とf'(2)を求めたいとき，

f'(1)
=\li_{h\to0}\f{f(1+h)-f(1)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(1+h)^2-1^2}{h}
=\li_{h\to0}\f{(1+2h+h^2)-1}{h}
=\li_{h\to0}\f{2h+h^2}{h}
=\li_{h\to0}(2+h)
=2

よりf'(1)=2であり，

f'(2)
=\li_{h\to0}\f{f(2+h)-f(2)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(2+h)^2-2^2}{h}
=\li_{h\to0}\f{(4+4h+h^2)-4}{h}
=\li_{h\to0}\f{4h+h^2}{h}
=\li_{h\to0}(4+h)
=4

よりf'(2)=4と計算することになるわけですが，少し数字が変わっているだけでどちらも同様の計算をしています．

このことから

「じゃあ，x=1とかx=2とか置かずに，xのまま計算したらええやん！」

という発想に思い至ります．そして，まさしくこれが導関数なのです．実際に，xのまま計算すると，

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(x+h)^2-x^2}{h}
=\li_{h\to0}\f{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}
=\li_{h\to0}\f{2xh+h^2}{h}
=\li_{h\to0}(2x+h)
=2x

となります．

xを固定せずに計算することで，f'(x)は関数となるのです．

ですから，f'(x)が求まれば，f'(1)，f'(2)，f'(\pi)は，f'(x)=2xに代入して，f'(1)=2，f'(2)=4，f'(\pi)=2\piと分かりますね．

xを固定せずにあえてxのまま考え，最後にxに代入することで各点の微分係数が求まるわけです．

導関数の例

以下で，導関数の例をみます．

やっていることは，微分係数を求める時にやっていたこととほぼ同じです．

例1

f(x)=2x^{3}のとき，

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{2(x+h)^{3}-3x^{3}}{h}
=\li_{h\to0}\f{2\{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3\}}{h}
=\li_{h\to0}\f{2(3x^2h+3xh^2+h^3)}{h}
=\li_{h\to0}2(3x^2+3xh+h^2)
=6x^2

である．

したがって，f'(0)=0，f'(-1)=6\times(-1)^2=6，f'(-10\pi)=6\times(-10\pi)^2=600\pi^2など，各xでの微分係数は瞬時に出ますね．

例2

f(x)=xのとき，

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(x+h)-x}{h}
=\li_{h\to0}1
=1

である．

したがって，どのxをとっても(x=0でもx=1でもx=-\piでも何でも)そこでの接線の傾きは1です．

確かに，y=xのグラフは直線ですから，どこででも傾きは1で一定です．

例3

f(x)=1のとき，

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{1-1}{h}
=\li_{h\to0}0
=0

である．

したがって，どのxをとっても(x=0でもx=1でもx=-\piでも何でも)そこでの接線の傾きは0です．

確かに，y=1のグラフは定数関数ですから，どこででも傾きは0で一定です．

【微分の基本3|多項式の導関数と，導関数の性質】に続きます．

最後まで読んで頂きありがとうございました！

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