【SPONSORED LINK】

微分の基本2|導関数の定義と直感的イメージ

  
   

微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義】の続きです.

関数y=f(x)x=aでの微分係数は,y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))を通る直線の平均変化率の極限として定義され,f'(a)と表すのでした.

すなわち,式で書けば,

f'(a)=\li_{h\to 0}\f{f(a+h)-f(a)}{h}\bra{=\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}}

で定義されるのでした.

さて,この記事では微分係数から自然に定義される導関数と,導関数の性質について説明します.

【SPONSORED LINK】

導関数の定義

関数y=f(x)は各xで微分係数が存在するとします.つまり,図形的にはy=f(x)のグラフはどのxでも「とんがって」おらず,接線が考えられるとします.

このとき,y=f(x)の各xでの微分係数を対応させる関数をf(x)の導関数といいます.つまり,

[導関数] 関数f(x)に対して,任意の実数aに対して,x=aで導関数が存在するとする.このとき,

f'(x)=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}\bra{=\li_{b\to x}\f{f(b)-f(x)}{b-x}}

で定まる関数f'(x)f(x)の導関数といい,導関数を求めることを微分するという.

また,関数y=f(x)に対して,f'(x)y',\f{dy}{dx},\f{df}{dx}(x)とも表す.

ここで,導関数の定義式が\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}\li_{b\to x}\f{f(b)-f(x)}{b-x}の2通りありますが,結局どちらも同じです.

【参考記事:ワンポイント数学5|2つの微分の定義式

なお,前回の記事で書いたように,微分係数の定義は次の通りでした.

[微分係数] 関数f(x)と実数aに対して,

\li_{h\to 0}\f{f(b)-f(a)}{b-a}\bra{=\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}}

が存在すれば,この値を「関数f(x)x=aにおける微分係数」といい,f'(a)と表す.

[定義(導関数)]と[定義(微分係数)]の大きな違いはxが固定されているか,されていないかです.

簡単に言えば,微分係数はxx=0x=1などと固定したときの極限です.一方,導関数はxx=0x=1などと固定せずに考える極限です.

導関数のイメージ

今まではx=aのように,xaに固定して微分係数を考えていました.このとき,実際にはaは何らかの数です.

このように,いちいちaを1つに定めて微分係数を計算するのは面倒です.そこで,「xを一つに固定するのではなく,様々なxで考えよう」というのが導関数の考え方です.

どういうことかというと,たとえばf(x)=x^2に対して,f'(1)f'(2)を求めたいとき,

f'(1)
=\li_{h\to0}\f{f(1+h)-f(1)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(1+h)^2-1^2}{h}
=\li_{h\to0}\f{(1+2h+h^2)-1}{h}
=\li_{h\to0}\f{2h+h^2}{h}
=\li_{h\to0}(2+h)
=2

よりf'(1)=2であり,

f'(2)
=\li_{h\to0}\f{f(2+h)-f(2)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(2+h)^2-2^2}{h}
=\li_{h\to0}\f{(4+4h+h^2)-4}{h}
=\li_{h\to0}\f{4h+h^2}{h}
=\li_{h\to0}(4+h)
=4

よりf'(2)=4と計算することになるわけですが,少し数字が変わっているだけでどちらも同様の計算をしています.

このことから

「じゃあ,x=1とかx=2とか置かずに,xのまま計算したらええやん!」

という発想に思い至ります.

そして,まさしくこれが導関数なのです.実際に,xのまま計算すると,

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(x+h)^2-x^2}{h}
=\li_{h\to0}\f{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}
=\li_{h\to0}\f{2xh+h^2}{h}
=\li_{h\to0}(2x+h)
=2x

となります.

xを固定せずに計算することで,f'(x)は関数となるのです.

ですから,f'(x)が求まれば,f'(1)f'(2)f'(\pi)は,f'(x)=2xに代入して,f'(1)=2f'(2)=4f'(\pi)=2\piと分かりますね.

xを固定せずにあえてxのまま考え,最後にxに代入することで各点の微分係数が求まるわけです.

導関数は微分係数を求める時と同じようにすれば求まる.

導関数の例

次の例を考えます.

次の関数の導関数を求めよ.

  1. f(x)=x
  2. f(x)=1
  3. f(x)=2x^{3}

やっていることは,微分係数を求める時にやっていたこととほぼ同じです.

例1

f(x)=xのとき,

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{(x+h)-x}{h}
=\li_{h\to0}1
=1

である.

したがって,どのxをとっても(x=0でもx=1でもx=-\piでも何でも)そこでの接線の傾きは1です.

確かに,y=xのグラフは直線ですから,どこででも傾きは1で一定です.

例2

f(x)=1のとき,

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{1-1}{h}
=\li_{h\to0}0
=0

である.

したがって,どのxをとっても(x=0でもx=1でもx=-\piでも何でも)そこでの接線の傾きは0です.

確かに,y=1のグラフは定数関数ですから,どこででも傾きは0で一定です.

例3

f(x)=2x^{3}のとき,

f'(x)
=\li_{h\to0}\f{f(x+h)-f(x)}{h}
=\li_{h\to0}\f{2(x+h)^{3}-3x^{3}}{h}
=\li_{h\to0}\f{2\{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3\}}{h}
=\li_{h\to0}\f{2(3x^2h+3xh^2+h^3)}{h}
=\li_{h\to0}2(3x^2+3xh+h^2)
=6x^2

である.

したがって,f'(0)=0f'(-1)=6\times(-1)^2=6f'(-10\pi)=6\times(-10\pi)^2=600\pi^2など,各xでの微分係数は瞬時に出ますね.

微分の基本3|多項式の導関数と,導関数の性質】に続きます.

最後までお読み頂き,ありがとうございました!

良ければシェアボタンから共有をお願いします!

関連記事と記事一覧

以下,【関連記事】と【記事一覧】です.


記事一覧はこちら


SNSでもご購読できます。

コメント

コメントを残す

*

ページ

トップへ

記事

一覧へ

オススメ

参考書

Twitterを

フォロー