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漸化式の基本3|数学的帰納法の仕組みと例

  
   

漸化式の基本2|等差数列,等比数列の漸化式】の続きです.

「数学的帰納法」は「背理法」に並んで,高校数学で学ぶ大切な証明法の一つで,「任意の自然数nに対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に対して威力を発揮することが多いです.

【参考記事:背理法1|背理法の仕組みと例
【参考記事:背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例

「数学的帰納法」のイメージとしては「ドミノ倒し」に似ており,最初のピースを倒すと次々にピースが倒れていく感覚があります.

「数学的帰納法」は非常に大切なので,確実に押さえてください.

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数学的帰納法の仕組み

「任意の自然数nに対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に「数学的帰納法」が有効であることは冒頭に述べた通りですが,次のような2段階の論法です.

  1. n=1のときに成り立つことを示す.
  2. n=kのときに成り立つ」とし,それを利用してn=k+1のときに成り立つことを示す.

「数学的帰納法」は「ドミノ倒し」に似ていると書きましたが,1は「最初のピースを倒す」ことに相当し,2は「(k個目のピースが倒れるか分からないけど,)もし倒れたとすると,ちゃんとk+1個目のピースも倒れる」ということに相当します.

言い換えれば,1が保証してくれるのは「最初のピースはちゃんと倒せる」ということであり,2が保証してくれるのは「k個目が倒れれば,k+1個目のピースが倒れるようにきちんとピース並んでいる」ということですね.

ですから,1,2のどちらが欠けても,「数学的帰納法」は成り立ちません.

1が欠けていると「最初のピースが倒せない」し,2が欠けていると「k個目が倒れても,k+1個目が倒れてくれないかもしれない」からです.

以上が「数学的帰納法」のイメージです.

1,2が証明できれば,

  1. 1よりn=1のときが成り立つ.
  2. n=1が成り立つから,2よりn=2のときが成り立つ.
  3. n=2が成り立つから,2よりn=3のときが成り立つ.
  4. n=3が成り立つから,2よりn=4のときが成り立つ.
  5. ……

と続いていくので,任意の自然数nに対して成り立つことが証明できたことになるわけです.

注意ですが,問題によっては「3以上の任意の自然数nに対して,〜を示せ.」などとなっている場合がありますが,このときは

  1. n=3のときに成り立つことを示す.
  2. n=kのときに成り立つ」とし,それを利用してn=k+1のときに成り立つことを示す.

とすれば良いことは以上の話から分かるでしょう.

数学的帰納法の例

今から次の問題を考えます.

(1) 任意の自然数nに対して,等式(*):1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2が成り立つことを示せ.

(2) 2以上の任意の自然数nに対して,不等式(*):3^n>4nが成り立つことを示せ.

(3) 漸化式a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}を満たす数列\{a_n\}の一般項を求めよ.

「数学的帰納法」を使いこなすにはいくらか慣れが必要ですから,実際に自分でも証明してみて下さい.

例1

任意の自然数nに対して,等式(*):1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2が成り立つことを数学的帰納法により示す.

[1] n=1のとき

((*)の左辺)=1=1^2=((*)の右辺)となって,等式(*)が成り立つことが分かる.

[2] 「n=kのとき(*)が成り立つ」とし,n=k+1のとき(*)が成り立つことを示す.

すなわち,「1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2が成り立つ」とし,1+3+5+\dots+\{2(k+1)-1\}=(k+1)^2が成り立つことを示す.

1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2が成り立つから,

1+3+5+\dots+\{2(k+1)-1\}
=\{1+3+5+\dots+(2k-1)\}+\{2(k+1)-1\}
=k^2+2k+1
=(k+1)^2

となって,n=k+1の場合にも等式(*)が成り立つことが分かる.

[1],[2]より示された.

例2

2以上の任意の自然数nに対して,不等式(*):3^n>4nが成り立つことを数学的帰納法により示す.

[1] n=2のとき

((*)の左辺)=3^2=9>8=4\times2=((*)の右辺)となって,不等式(*)が成り立つことが分かる.

[2] 「n=k (k\ge2)のとき(*)が成り立つ」とし,n=k+1のとき不等式(*)が成り立つことを示す.

すなわち,「3^k>4kが成り立つ」とし,3^{k+1}>4(k+1)が成り立つことを示す.

3k>k+1であることに注意すると,3^k>4kが成り立つから,

3^{k+1}=3\times3^{k}>3\times4k=4\times3k>4\times(k+1)

となって,n=k+1の場合にも不等式(*)が成り立つことが分かる.

[1],[2]より示された.

例3

a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}だから,数列\{a_n\}を初項から順に求めると,

a_1=1,
a_2=\dfrac{a_1}{1+a_1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2},
a_3=\dfrac{a_2}{1+a_2}=\dfrac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3},
a_4=\dfrac{a_3}{1+a_3}=\dfrac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3+1}=\dfrac{1}{4}

となる.よって,数列\{a_n\}の一般項はa_n=\dfrac{1}{n}と予想でき,これを数学的帰納法により示す.

[1] n=1のとき

a_1=1となって,予想が正しいことが分かる.

[2] 「n=kのとき予想が正しい」とし,n=k+1のとき予想が正しいことが成り立つことを示す.

すなわち,「a_n=\dfrac{1}{n}が成り立つ」とし,a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}が成り立つことを示す.

a_n=\dfrac{1}{n}が成り立つから,

a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}=\dfrac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{n+1}

となって,n=k+1の場合にも予想が正しいことが分かる.

[1],[2]より,題意の一般項はa_n=\dfrac{1}{n}である.

補足

例1,例2のように単に証明で「数学的帰納法」を用いることも多いですが,例3のように「〜を求めよ.」といった場合にも「予想を立てて,数学的帰納法により証明する」という手法を用いることもよくあります.

いずれにせよ,「数学的帰納法」の仕組みを理解して,証明の流れを自分で作れるようになっておかなければなりません.

「数学的帰納法」は非常に基本的で重要な証明法ですから,必ず押さえてください.

最後まで読んで頂きありがとうございました!

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