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  4. 数列の基本5|部分分数分解を用いて計算する数列の和

数列の基本5|部分分数分解を用いて計算する数列の和

　　
　　　

【数列の基本4|階差数列の一般項と和の公式】の続きです．

数列の和を求めるときに，「部分分数分解」を使うことがよくあります．

部分分数分解はマイナーな知識と思われがちですが，ちゃんと数Bの教科書にも載っていますし，理系の人は数IIIで分数関数を積分するときにもよく使います．

また，部分分数分解は形を丸覚えするのではなく，自分で導出できるようにしておいてください．部分分数分解が苦手な人はこの記事で自分のものにしてください．

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部分分数分解

部分分数分解とは大雑把にいえば，「1つの分数を複数の分数の和(もしくは差)に分けること」を言います．

たとえば，1/6は(1/2)-(1/3)と2つの分数の和に分けることができます．これは簡単な例ですが，部分分数分解をしています．

さて，この節の目標は\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}の形の分数を\dfrac{1}{A}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right)の形に部分分数分解できるようになることです．

部分分数分解の公式

最初に，[部分分数分解の公式]を書いてしまいましょう．

[部分分数分解の公式]　a\neq bとすると，次の等式が成り立つ．

\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right)

さて，公式を書いた直後ですが，私は[部分分数分解の公式]はちゃんとは覚えていません．覚えていなくても，部分分数分解の理屈を理解していれば，この公式は瞬時に自分でつくれます．

下手に覚えると，\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}なのか\dfrac{1}{x+b}-\dfrac{1}{x+a}なのか怪しくなりますし，\dfrac{1}{b-a}なのか\dfrac{1}{a-b}なのかも怪しくなります．

丸覚えではなく，理屈から導出できるようにしてください．

部分分数分解の公式の考え方

まず，\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}を通分するとどうなるでしょう？中学生の計算ですが，

\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}
=\dfrac{x+b}{(x+a)(x+b)}+\dfrac{x+a}{(x+a)(x+b)}
=\dfrac{2x+a+b}{(x+a)(x+b)}

となりますね．では，\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}を通分するとどうなるでしょう？

\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}
=\dfrac{x+b}{(x+a)(x+b)}-\dfrac{x+a}{(x+a)(x+b)}
=\dfrac{b-a}{(x+a)(x+b)}

となりますね．いま，分数を足したものと引いたものを実際に通分して計算しましたが，どうでしょうか？

「引いたもの」は通分したときにxと-xが出てきて打ち消し合います．一方，「足したもの」は通分したときにxとxが出てくるので打ち消し合えません．

このことから，「引いたもの」の方がスッキリした形になるのは分かることでしょう．

さて，「引いたもの」の式から，

\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}=\dfrac{b-a}{(x+a)(x+b)}

ですから，この式の両辺をb-aで割ると，部分分数分解の公式

\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right)

が得られました．

さて，ここでもう一度\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}を見てみます．

これを\dfrac{1}{A}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right)の形に部分分数分解したいわけですが，\dfrac{1}{x+a}と\dfrac{1}{x+b}の間の符号をマイナスにすれば，通分した時に分子に現れるのがb-aであるのがわかります．

ということは，通分したあとにb-aで割れば，\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}が出てくることが分かりますね．

なお，わざと足してxを分子に残して考えた方が良い場合もあるのですが，長くなってしまうのでここでは割愛します．

部分分数分解を用いた数列の和

さて，部分分数分解を用いて数列の和を計算してみます．

上で書いた部分分数分解の考え方を確かめながら読んでください．

例1

一般項がa_n=\dfrac{1}{n(n+1)}の数列\{a_n\}の和\sum\limits_{k=1}^{n}a_kを求めます．

まず，a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}を部分分数分解して\dfrac{1}{n}と\dfrac{1}{n+1}の項が現れ，これらを通分したときに分子にnが現れないようにしたいのですが，どうでしょうか．

\dfrac{1}{n}から\dfrac{1}{n+1}を引いて通分すると，\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}となって分子のnが打ち消し合います．したがって，

\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}

となります．今回は，たまたま分子がnとn+1の差が1なので，これで部分分数分解は終了です．

さて，これでa_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}が分かりました．これを用いると，和\sum\limits_{k=1}^{n}a_kは

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k =\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)
=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right) +\dots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)
=1+\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right) +\dots+\left(-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n+1}
=1-\dfrac{1}{n+1}
=\dfrac{n}{n+1}

と分かります．下から2行目の等号で同じものがバサバサ消えているのが分かりますね．

例2

一般項がa_n=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}の数列\{a_n\}の和\sum\limits_{k=2}^{n}a_kを考えます．

まず，a_n=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}を部分分数分解して\dfrac{1}{n-1}と\dfrac{1}{n+1}の項が現れれるようにするのですが，これらを通分したときに分子にnが現れないようにしたいのですが，どうでしょうか？

\dfrac{1}{n-1}から\dfrac{1}{n+1}を引いて通分すると\dfrac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)(n+1)}となってnが打ち消し合います．したがって，

\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1}{(n-1)(n+1)}-\dfrac{n-1}{(n-1)(n+1)}=\dfrac{2}{(n-1)(n+1)}

となります．これは例1と違って，分子に2が出てきました．この2はn-1とn+1の差の2です．この両辺を2で割って

\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}

です．これで部分分数分解ができました．

さて，これでa_n=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)が分かりました．これを使うと，和\sum\limits_{k=2}^{n}a_kは

\displaystyle\sum_{k=2}^{n}a_k =\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}\right)
=\dfrac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}\right)
=\dfrac{1}{2}\left\{\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right) +\dots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right\}
=\dfrac{1}{2}\left\{1+\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+\left(-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}\right) +\dots+\left(-\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n-1}\right)-\dfrac{1}{n+1}\right\}
=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)
=\dfrac{n}{2(n+1)}

と分かります．例1と同じく下から2行目の等号で同じものがバサバサ消えているのが分かりますね．

【数列の基本6|等差×等比の和】に続きます．

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