数列の基本５｜部分分数分解を用いて計算する数列の和

[解説動画あり]

【数列の基本４｜階差数列の一般項と公式】の続きです．

数列の和を求めるときに，「部分分数分解」を使うことがよくあります．

部分分数分解はマイナーな知識と思われがちですが，ちゃんと数Bの教科書にも載っていますし，理系の人は数IIIで分数関数を積分するときにもよく使います．

また，部分分数分解は形を丸覚えするのではなく，自分で導出できるようにしておいてください．部分分数分解が苦手な人はこの記事で自分のものにしてください．

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1 部分分数分解
- 1.1 部分分数分解の公式
- 1.2 部分分数分解の公式の考え方
2 部分分数分解を用いた数列の和
- 2.1 例1
- 2.2 例2
3 解説動画

部分分数分解

部分分数分解とは大雑把にいえば，「1つの分数を複数の分数の和(もしくは差)に分けること」を言います．

たとえば， $\dfrac{1}{6}$ は $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$ と2つの分数の和に分けることができます．これは簡単な例ですが，部分分数分解をしています．

部分分数分解の公式

[部分分数分解の公式]は次の通りです．

[部分分数分解の公式]　 $a\neq b$ とすると，次の等式が成り立つ．

$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\bra{\dfrac{1}{x+a}-\f{1}{x+b}}$

さて，公式を書いた直後ですが，私は[部分分数分解の公式]はちゃんとは覚えていません．覚えていなくても，部分分数分解の理屈を理解していれば，この公式は瞬時に自分でつくれます．

下手に覚えると， $\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}$ なのか $\dfrac{1}{x+b}-\dfrac{1}{x+a}$ なのか怪しくなりますし， $\dfrac{1}{b-a}$ なのか $\dfrac{1}{a-b}$ なのかも怪しくなります．

丸覚えではなく，理屈から導出できるようにしてください．

部分分数分解の公式の考え方

まず， $\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}$ を通分するとどうなるでしょう？中学生の計算ですが，

$\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}$
$=\dfrac{x+b}{(x+a)(x+b)}+\dfrac{x+a}{(x+a)(x+b)}$
$=\dfrac{2x+a+b}{(x+a)(x+b)}$

となりますね．では， $\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}$ を通分するとどうなるでしょう？

$\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}$
$=\dfrac{x+b}{(x+a)(x+b)}-\dfrac{x+a}{(x+a)(x+b)}$
$=\dfrac{b-a}{(x+a)(x+b)}$

となりますね．いま，分数を足したものと引いたものを実際に通分して計算しましたが，どうでしょうか？

「引いたもの」は通分したときに $x$ と $-x$ が出てきて打ち消し合います．一方，「足したもの」は通分したときに $x$ と $x$ が出てくるので打ち消し合えません．

このことから，「引いたもの」の方がスッキリした形になるのは分かることでしょう．

さて，「引いたもの」の式から，

$\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}=\dfrac{b-a}{(x+a)(x+b)}$

ですから，この式の両辺を $b-a$ で割ると，部分分数分解の公式

$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\bra{\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}}$

が得られました．

さて，ここでもう一度 $\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}$ を見てみます．

これを $\dfrac{1}{A}\bra{\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}}$ の形に部分分数分解したいわけですが， $\dfrac{1}{x+a}$ と $\dfrac{1}{x+b}$ の間の符号をマイナスにすれば，通分した時に分子に現れるのが $b-a$ であるのがわかります．

ということは，通分したあとに $b-a$ で割れば， $\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}$ が出てくることが分かりますね．

なお，数IIIの積分では，わざと足して $x$ を分子に残して考えた方が良い場合もあるのですが，ここでは説明しません．

$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}$ を部分分数分解するときは，まず $\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}$ を作ってしまう．そして，通分したときに出てくる $b-a$ を消すために前に $\dfrac{1}{b-a}$ をかける．

部分分数分解を用いた数列の和

さて，部分分数分解を用いて数列の和を計算してみます．

上で書いた部分分数分解の考え方を確かめながら読んでください．

例1

一般項が $a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$ の数列 $\{a_n\}$ の和 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ を求めます．

まず， $a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$ を部分分数分解して $\dfrac{1}{n}$ と $\dfrac{1}{n+1}$ の項が現れ，これらを通分したときに分子に $n$ が現れないようにしたいのですが，どうでしょうか．

$\dfrac{1}{n}$ から $\dfrac{1}{n+1}$ を引いて通分すると， $\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}$ となって分子の $n$ が打ち消し合います．したがって，

$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}$

となります．今回は，たまたま分子が $n$ と $n+1$ の差が $1$ なので，これで部分分数分解は終了です．

さて，これで $a_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ が分かりました．これを用いると，和 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ は

$\dsum_{k=1}^{n}a_k=\dsum_{k=1}^{n}\bra{\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}}$
$=\bra{1-\dfrac{1}{2}}+\bra{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}+\bra{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}}+\dots+\bra{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}}$
$=1+\bra{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}+\bra{-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}+\dots+\bra{-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{n+1}$
$=1-\dfrac{1}{n+1}$
$=\dfrac{n}{n+1}$

と分かります．下から2行目の等号で同じものがバサバサ消えているのが分かりますね．

例2

一般項が $a_n=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}$ の数列 $\{a_n\}$ の和 $\sum\limits_{k=2}^{n}a_k$ を考えます．

まず， $a_n=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}$ を部分分数分解して $\dfrac{1}{n-1}$ と $\dfrac{1}{n+1}$ の項が現れれるようにするのですが，これらを通分したときに分子に $n$ が現れないようにしたいのですが，どうでしょうか？

$\dfrac{1}{n-1}$ から $\dfrac{1}{n+1}$ を引いて通分すると $\dfrac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)(n+1)}$ となって $n$ が打ち消し合います．したがって，

$\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1}{(n-1)(n+1)}-\dfrac{n-1}{(n-1)(n+1)}=\dfrac{2}{(n-1)(n+1)}$

となります．これは例1と違って，分子に $2$ が出てきました．この $2$ は $n-1$ と $n+1$ の差の $2$ です．この両辺を $2$ で割って

$\f{1}{2}\bra{\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}$

です．これで部分分数分解ができました．

さて，これで $a_n=\dfrac{1}{2}\bra{\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}}$ が分かりました．これを使うと，和 $\sum\limits_{k=2}^{n}a_k$ は

$\dsum_{k=2}^{n}a_k=\dsum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{2}\bra{\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}}$
$=\dfrac{1}{2}\dsum_{k=2}^{n}\bra{\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}}$
$=\dfrac{1}{2}\cub{\bra{1-\dfrac{1}{3}}+\bra{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}}+\bra{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}}+\dots+\bra{\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}}}$
$=\dfrac{1}{2}\cub{1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}}$
$=\dfrac{(3n+2)(n-1)}{4n(n+1)}$

と分かります．例1と同じく下から2行目の等号で同じものがバサバサ消えているのが分かりますね．

なお，最後の等号の計算の部分は省略しました．各自，確かめてみてください．

$\dsum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+a)(k+b)}$ の和は部分分数分解を用いるとうまくいく．これは部分分数分解によって出てきた項が打ち消し合うからである．

解説動画

以下の動画でこの記事の内容を解説しています．

【数列の基本６｜等差×等比の和の求め方】に続きます．