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数列の基本5|部分分数分解を用いて計算する数列の和

数列の基本4|階差数列の一般項と和の公式】の続きです.

数列の和を求めるときに,「部分分数分解」を使うことがよくあります.

部分分数分解はマイナーな知識と思われがちですが,ちゃんと数Bの教科書にも載っていますし,理系の人は数IIIで分数関数を積分するときにもよく使います.

また,部分分数分解は形を丸覚えするのではなく,自分で導出できるようにしておいてください.部分分数分解が苦手な人はこの記事で自分のものにしてください.

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部分分数分解

部分分数分解とは大雑把にいえば,「1つの分数を複数の分数の和(もしくは差)に分けること」を言います.

たとえば,1/6(1/2)-(1/3)と2つの分数の和に分けることができます.これは簡単な例ですが,部分分数分解をしています.

さて,この節の目標は\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}の形の分数を\dfrac{1}{A}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right)の形に部分分数分解できるようになることです.

部分分数分解の公式

最初に,[部分分数分解の公式]を書いてしまいましょう.

[部分分数分解の公式] a\neq bとすると,次の等式が成り立つ.

\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right)

さて,公式を書いた直後ですが,私は[部分分数分解の公式]はちゃんとは覚えていません.覚えていなくても,部分分数分解の理屈を理解していれば,この公式は瞬時に自分でつくれます.

下手に覚えると,\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}なのか\dfrac{1}{x+b}-\dfrac{1}{x+a}なのか怪しくなりますし,\dfrac{1}{b-a}なのか\dfrac{1}{a-b}なのかも怪しくなります.

丸覚えではなく,理屈から導出できるようにしてください.

部分分数分解の公式の考え方

まず,\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}を通分するとどうなるでしょう?中学生の計算ですが,

\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}
=\dfrac{x+b}{(x+a)(x+b)}+\dfrac{x+a}{(x+a)(x+b)}
=\dfrac{2x+a+b}{(x+a)(x+b)}

となりますね.では,\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}を通分するとどうなるでしょう?

\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}
=\dfrac{x+b}{(x+a)(x+b)}-\dfrac{x+a}{(x+a)(x+b)}
=\dfrac{b-a}{(x+a)(x+b)}

となりますね.いま,分数を足したもの引いたものを実際に通分して計算しましたが,どうでしょうか?

「引いたもの」は通分したときにx-xが出てきて打ち消し合います.一方,「足したもの」は通分したときにxxが出てくるので打ち消し合えません.

このことから,「引いたもの」の方がスッキリした形になるのは分かることでしょう.

さて,「引いたもの」の式から,

\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}=\dfrac{b-a}{(x+a)(x+b)}

ですから,この式の両辺をb-aで割ると,部分分数分解の公式

\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right)

が得られました.

さて,ここでもう一度\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}を見てみます.

これを\dfrac{1}{A}\left(\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}\right)の形に部分分数分解したいわけですが,\dfrac{1}{x+a}\dfrac{1}{x+b}の間の符号をマイナスにすれば,通分した時に分子に現れるのがb-aであるのがわかります.

ということは,通分したあとにb-aで割れば,\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}が出てくることが分かりますね.

なお,わざと足してxを分子に残して考えた方が良い場合もあるのですが,長くなってしまうのでここでは割愛します.

部分分数分解を用いた数列の和

さて,部分分数分解を用いて数列の和を計算してみます.

上で書いた部分分数分解の考え方を確かめながら読んでください.

例1

一般項がa_n=\dfrac{1}{n(n+1)}の数列\{a_n\}の和\sum\limits_{k=1}^{n}a_kを求めます.

まず,a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}を部分分数分解して\dfrac{1}{n}\dfrac{1}{n+1}の項が現れ,これらを通分したときに分子にnが現れないようにしたいのですが,どうでしょうか.

\dfrac{1}{n}から\dfrac{1}{n+1}を引いて通分すると,\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}となって分子のnが打ち消し合います.したがって,

\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}

となります.今回は,たまたま分子がnn+1の差が1なので,これで部分分数分解は終了です.

さて,これでa_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}が分かりました.これを用いると,和\sum\limits_{k=1}^{n}a_k

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k =\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)
=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right) +\dots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)
=1+\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right) +\dots+\left(-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n+1}
=1-\dfrac{1}{n+1}
=\dfrac{n}{n+1}

と分かります.下から2行目の等号で同じものがバサバサ消えているのが分かりますね.

例2

一般項がa_n=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}の数列\{a_n\}の和\sum\limits_{k=2}^{n}a_kを考えます.

まず,a_n=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}を部分分数分解して\dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{n+1}の項が現れれるようにするのですが,これらを通分したときに分子にnが現れないようにしたいのですが,どうでしょうか?

\dfrac{1}{n-1}から\dfrac{1}{n+1}を引いて通分すると\dfrac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)(n+1)}となってnが打ち消し合います.したがって,

\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1}{(n-1)(n+1)}-\dfrac{n-1}{(n-1)(n+1)}=\dfrac{2}{(n-1)(n+1)}

となります.これは例1と違って,分子に2が出てきました.この2n-1n+1の差の2です.この両辺を2で割って

\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}

です.これで部分分数分解ができました.

さて,これでa_n=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)が分かりました.これを使うと,和\sum\limits_{k=2}^{n}a_k

\displaystyle\sum_{k=2}^{n}a_k =\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}\right)
=\dfrac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}\right)
=\dfrac{1}{2}\left\{\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right) +\dots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right\}
=\dfrac{1}{2}\left\{1+\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+\left(-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}\right) +\dots+\left(-\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n-1}\right)-\dfrac{1}{n+1}\right\}
=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)
=\dfrac{n}{2(n+1)}

と分かります.例1と同じく下から2行目の等号で同じものがバサバサ消えているのが分かりますね.

数列の基本6|等差×等比の和】に続きます.

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