数列の基本５｜部分分数分解を用いて計算する数列の和

[解説動画あり]

【数列の基本４｜階差数列の一般項と公式】の続きです．

数列の和を求めるときに，「部分分数分解」を使うことがよくあります．

部分分数分解はマイナーな知識と思われがちですが，ちゃんと数Bの教科書にも載っていますし，理系の人は数IIIで分数関数を積分するときにもよく使います．

また，部分分数分解は形を丸覚えするのではなく，自分で導出できるようにしておいてください．部分分数分解が苦手な人はこの記事で自分のものにしてください．

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1 部分分数分解
- 1.1 部分分数分解の公式
- 1.2 部分分数分解の公式の考え方
2 部分分数分解を用いた数列の和
- 2.1 例1
- 2.2 例2
3 解説動画

部分分数分解

部分分数分解とは大雑把にいえば，「1つの分数を複数の分数の和(もしくは差)に分けること」を言います．

たとえば， $\dfrac{1}{6}$ は $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$ と2つの分数の和に分けることができます．これは簡単な例ですが，部分分数分解をしています．

部分分数分解の公式

[部分分数分解の公式]は次の通りです．

[部分分数分解の公式]　 $a\neq b$ とすると，次の等式が成り立つ．

$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\bra{\dfrac{1}{x+a}-\f{1}{x+b}}$

さて，公式を書いた直後ですが，私は[部分分数分解の公式]はちゃんとは覚えていません．覚えていなくても，部分分数分解の理屈を理解していれば，この公式は瞬時に自分でつくれます．

下手に覚えると， $\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}$ なのか $\dfrac{1}{x+b}-\dfrac{1}{x+a}$ なのか怪しくなりますし， $\dfrac{1}{b-a}$ なのか $\dfrac{1}{a-b}$ なのかも怪しくなります．

丸覚えではなく，理屈から導出できるようにしてください．

部分分数分解の公式の考え方

まず， $\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}$ を通分するとどうなるでしょう？中学生の計算ですが，

$\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b}$
$=\dfrac{x+b}{(x+a)(x+b)}+\dfrac{x+a}{(x+a)(x+b)}$
$=\dfrac{2x+a+b}{(x+a)(x+b)}$

となりますね．では， $\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}$ を通分するとどうなるでしょう？

$\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}$
$=\dfrac{x+b}{(x+a)(x+b)}-\dfrac{x+a}{(x+a)(x+b)}$
$=\dfrac{b-a}{(x+a)(x+b)}$

となりますね．いま，分数を足したものと引いたものを実際に通分して計算しましたが，どうでしょうか？

「引いたもの」は通分したときに $x$ と $-x$ が出てきて打ち消し合います．一方，「足したもの」は通分したときに $x$ と $x$ が出てくるので打ち消し合えません．

このことから，「引いたもの」の方がスッキリした形になるのは分かることでしょう．

さて，「引いたもの」の式から，

$\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}=\dfrac{b-a}{(x+a)(x+b)}$

ですから，この式の両辺を $b-a$ で割ると，部分分数分解の公式

$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{1}{b-a}\bra{\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}}$

が得られました．

さて，ここでもう一度 $\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}$ を見てみます．

これを $\dfrac{1}{A}\bra{\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}}$ の形に部分分数分解したいわけですが， $\dfrac{1}{x+a}$ と $\dfrac{1}{x+b}$ の間の符号をマイナスにすれば，通分した時に分子に現れるのが $b-a$ であるのがわかります．

ということは，通分したあとに $b-a$ で割れば， $\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}$ が出てくることが分かりますね．

なお，数IIIの積分では，わざと足して $x$ を分子に残して考えた方が良い場合もあるのですが，ここでは説明しません．

$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}$ を部分分数分解するときは，まず $\dfrac{1}{x+a}-\dfrac{1}{x+b}$ を作ってしまう．そして，通分したときに出てくる $b-a$ を消すために前に $\dfrac{1}{b-a}$ をかける．

部分分数分解を用いた数列の和

さて，部分分数分解を用いて数列の和を計算してみます．

上で書いた部分分数分解の考え方を確かめながら読んでください．

例1

一般項が $a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$ の数列 $\{a_n\}$ の和 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ を求めます．

まず， $a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$ を部分分数分解して $\dfrac{1}{n}$ と $\dfrac{1}{n+1}$ の項が現れ，これらを通分したときに分子に $n$ が現れないようにしたいのですが，どうでしょうか．

$\dfrac{1}{n}$ から $\dfrac{1}{n+1}$ を引いて通分すると， $\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}$ となって分子の $n$ が打ち消し合います．したがって，

$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}$

となります．今回は，たまたま分子が $n$ と $n+1$ の差が $1$ なので，これで部分分数分解は終了です．

さて，これで $a_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ が分かりました．これを用いると，和 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ は

$\dsum_{k=1}^{n}a_k=\dsum_{k=1}^{n}\bra{\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}}$
$=\bra{1-\dfrac{1}{2}}+\bra{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}+\bra{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}}+\dots+\bra{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}}$
$=1+\bra{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}+\bra{-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}+\dots+\bra{-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{n+1}$
$=1-\dfrac{1}{n+1}$
$=\dfrac{n}{n+1}$

と分かります．下から2行目の等号で同じものがバサバサ消えているのが分かりますね．

例2

一般項が $a_n=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}$ の数列 $\{a_n\}$ の和 $\sum\limits_{k=2}^{n}a_k$ を考えます．

まず， $a_n=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}$ を部分分数分解して $\dfrac{1}{n-1}$ と $\dfrac{1}{n+1}$ の項が現れれるようにするのですが，これらを通分したときに分子に $n$ が現れないようにしたいのですが，どうでしょうか？

$\dfrac{1}{n-1}$ から $\dfrac{1}{n+1}$ を引いて通分すると $\dfrac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)(n+1)}$ となって $n$ が打ち消し合います．したがって，

$\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1}{(n-1)(n+1)}-\dfrac{n-1}{(n-1)(n+1)}=\dfrac{2}{(n-1)(n+1)}$

となります．これは例1と違って，分子に $2$ が出てきました．この $2$ は $n-1$ と $n+1$ の差の $2$ です．この両辺を $2$ で割って

$\f{1}{2}\bra{\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}$

です．これで部分分数分解ができました．

さて，これで $a_n=\dfrac{1}{2}\bra{\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}}$ が分かりました．これを使うと，和 $\sum\limits_{k=2}^{n}a_k$ は

$\dsum_{k=2}^{n}a_k=\dsum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{2}\bra{\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}}$
$=\dfrac{1}{2}\dsum_{k=2}^{n}\bra{\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}}$
$=\dfrac{1}{2}\cub{\bra{1-\dfrac{1}{3}}+\bra{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}}+\bra{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}}+\dots+\bra{\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}}}$
$=\dfrac{1}{2}\cub{1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}}$
$=\dfrac{(3n+2)(n-1)}{4n(n+1)}$