前回の記事で説明したように，数列$\{a_n\}$に対して
\begin{align*}
a_{n+1}=a_n+2n
\end{align*}
のような項同士の関係式を漸化式といい，漸化式から一般項$a_n$を求めることを漸化式を解くというのでした．
漸化式はいつでも簡単に解けるとは限りませんが，簡単に解ける漸化式として
- 等差数列の漸化式
- 等比数列の漸化式
は他の解ける漸化式のベースになることが多く，確実に押さえておくことが大切です．
この記事では，この２タイプの漸化式「等差数列の漸化式」と「等比数列の漸化式」を説明します．
一連の記事はこちら
【漸化式の基本１｜漸化式とは？漸化式の考え方を例から解説！】
【漸化式の基本２｜漸化式の基本の[等差数列]と[等比数列]】←今の記事
【漸化式の基本３｜数学的帰納法はイメージは「ドミノ倒し」！】
等差数列の漸化式
まず，等差数列を復習しましょう．
１つ次の項に移るごとに，同じ数が足されている数列を等差数列という．また，このときに１つ次の項に移るごとに足されている数を公差という．
この定義から，例えば公差３の等差数列$\{a_n\}$は
- $a_2=a_1+3$
- $a_3=a_2+3$
- $a_4=a_3+3$
- ……
となっていますから，これらをまとめると
\begin{align*}
a_{n+1}=a_n+3\quad
(n=1,2,3,\dots)
\end{align*}
と表せます．もちろん，逆にこの漸化式をもつ数列$\{a_n\}$は公差３の等差数列ですね．
公差を一般に$d$としても同じことですから，一般に次が成り立つことが分かります．
[等差数列] $d$を定数とする．このとき，数列$\{a_n\}$について，次は同値である．
- 漸化式$a_{n+1}=a_n+d$が成り立つ．
- 数列$\{a_n\}$は公差$d$の等差数列である．
さて，公差$d$の等差数列$\{a_n\}$の一般項は
\begin{align*}
a_{n}=a_1+(n-1)d\quad\dots(*)
\end{align*}
でしたから，今みた定理と併せて漸化式$a_{n+1}=a_n+d$は$(*)$と解けることになりますね．
最初の一歩は等差数列と等比数列！
等比数列の漸化式
まず，等差数列を復習しましょう．
１つ次の項に移るごとに，同じ数がかけられている数列を等比数列という．また，このときに１つ次の項に移るごとにかけられている数を公比という．
等比数列の漸化式についても，等差数列と並行に話を進めることができます．
この定義から，例えば公比３の等比数列$\{b_n\}$は
- $b_2=3b_1$
- $b_3=3b_2$
- $b_4=3b_3$
- ……
となっていますから，これらをまとめると
\begin{align*}
b_{n+1}=3b_n\quad
(n=1,2,3,\dots)
\end{align*}
と表せます．もちろん，逆にこの漸化式をもつ数列$\{b_n\}$は公比３の等差数列ですね．
公比を一般に$r$としても同じことですから，一般に次が成り立つことが分かります．
[等比数列] $r$を定数とする．このとき，数列$\{b_n\}$について，次は同値である．
- 漸化式$b_{n+1}=rb_n$が成り立つ．
- 数列$\{b_n\}$は公比$r$の等比数列である．
さて，公比$d$の等比数列$\{a_n\}$の一般項は
\begin{align*}
a_{n}=a_1r^{n-1}\quad\dots(**)
\end{align*}
でしたから，今みた定理と併せて漸化式$b_{n+1}=rb_n$は$(**)$と解けることになりますね．
最初の一歩は等差数列と等比数列！
具体例
それでは具体例を考えましょう．
$a_1=1$を満たす数列$\{a_n\}$に対して，次の漸化式を解け．
- $a_{n+1}=a_n+2$
- $a_{n+1}=a_n-\frac{3}{2}$
- $a_{n+1}=2a_n$
- $a_{n+1}=-a_n$
ただ公式を適用しようとするのではなく，それぞれの漸化式を見て意味を考えることが大切です．
- ２を加えて次の項に移っているから公差２の等差数列
- $-\frac{3}{2}$を加えて次の項に移っているから公差$-\frac{3}{2}$の等差数列
- ２をかけて次の項に移っているから公比２の等比数列
- $-1$をかけて次の項に移っているから公比$-1$の等比数列
と考えれば，初項が$a_1=1$であることから直ちに漸化式を解くことができますね．
(1) 漸化式$a_{n+1}=a_n+2$より数列$\{a_n\}$は公差２の等差数列だから，一般項$a_n$は初項$a_1$に公差２を$n-1$回加えたものである．
よって，一般項$a_n$は
\begin{align*}
a_n
=&a_1+2(n-1)
\\=&1+2(n-1)
\\=&2n-1
\end{align*}
である．
(2) 漸化式$a_{n+1}=a_n-\frac{3}{2}$より公差$-\frac{3}{2}$の等差数列だから，一般項$a_n$は初項$a_1$に公差$-\frac{3}{2}$を$n-1$回加えたものである．
よって，一般項$a_n$は
\begin{align*}
a_n
=&a_1-\frac{3}{2}(n-1)
\\=&1-\frac{3}{2}(n-1)
\\=&-\frac{3}{2}n+\frac{5}{2}
\end{align*}
である．
(3) 漸化式$a_{n+1}=2a_n$より公比２の等比数列だから，一般項$a_n$は初項$a_1$に公比２を$n-1$回かけたものである．
よって，一般項$a_n$は
\begin{align*}
a_n
=&2^{n-1}a_1
\\=&2^{n-1}\cdot1
\\=&2^{n-1}
\end{align*}
である．
(4) 漸化式$a_{n+1}=-a_n$より公比$-1$の等比数列だから，一般項$a_n$は初項$a_1$に公比$-1$を$n-1$回かけたものである．
よって，一般項$a_n$は
\begin{align*}
a_n
=&(-1)^{n-1}a_1
\\=&(-1)^{n-1}\cdot1
\\=&(-1)^{n-1}
\end{align*}
である．
次の記事では，証明で重要な手法である数学的帰納法について説明します．
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