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数列の基本1|数列の基礎は[等差数列]と[等比数列]から!

中学入試などでは,例えば

「$1,3,7,13,21,31,\square$の$\square$に入る数字を求めよ」

といった問題が出題されることがあります.

実はこれはまさに数列の問題で,これを詳しく扱っていくのが高校数学での数列です.

高校数学での数列で基礎となるのは

  • 等差数列
  • 等比数列

です.少し複雑な数列であっても「等差数列」と「等比数列」に落とし込んで考えることが多いので,この2つの数列はしっかり理解しておきましょう.

この記事では,この基本的な

  • 等差数列
  • 等比数列

について説明します.

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数列の基本

まず,数列の基本から説明します.

数列とは

数列とは以下のものを言います.

数を一列に並べたものを数列という.数列の中でも

  • 途中で終わる数列を有限数列
  • 無限に続く数列を無限数列

という.

例えば,以下は全て数列です.

  • $1,\ 3,\ 5,\ \dots,\ 13,\ 15$
  • $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$
  • $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \dots$
  • $1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ \dots$
  • $5,\ 168.2, \frac{1}{22},\ 25684,\ \dots$

これらの中でも,最初のものは有限数列で,そのほかのものは無限数列ですね.

最後の数列には規則がなさそうに見えますが,これも数列です.

数が並んでさえいれば,そこに規則性があろうがなかろうが全て数列です.

数列の表し方

数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots$を$\{a_n\}$と表します.

したがって,「数列$\{a_n\}$」と書かれたら,「これは数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots$のことやな」と思えるようにしてください.

数列$\{a_n\}$について,$k$番目の数$a_k$を第$k$という.また,第1項を初項といい,有限数列の最後の項を末項という.

さらに,任意の$n$に対して考える$a_n$を一般項という.

例えば,数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=2n$と言われれば,これは

  • $a_1=2\times1=2$
  • $a_2=2\times2=4$
  • $a_3=2\times3=6$
  • ……

となりますし,数列$\{b_n\}$の一般項が$b_n=\bra{-\frac{1}{2}}^n$と言われれば,これは

  • $b_1=\bra{-\frac{1}{2}}^1=-\frac{1}{2}$
  • $b_2=\bra{-\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{4}$
  • $b_3=\bra{-\frac{1}{2}}^3=-\frac{1}{8}$
  • ……

となります.

等差数列と等比数列

さて,先ほど書いたように「数が並んでさえいれば,そこに規則性があろうがなかろうが全て数列」と書きましたが,めちゃくちゃな数列を考えてもよい結果は得られそうにないですね.

そこで,最も考えやすい基本的な数列として

  • 等差数列
  • 等比数列

があるので,これらを解説します.

等差数列

等差数列とは以下のような数列を指します.

1つ次の項に移るごとに,同じ数が足されている数列を等差数列という.また,このときに1つ次の項に移るごとに足されている数を公差という.

例えば,以下は全て等差数列です.

  • $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \dots$ (公差:1)
  • $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \dots$ (公差:2)
  • $9,\ 13,\ 17,\ 21,\ 25,\ \dots$ (公差:4)
  • $3,\ 4.5,\ 6,\ 7.5,\ 9,\ \dots$ (公差:$1.5$)
  • $7,\ 7,\ 7,\ 7,\ 7,\ \dots$ (公差:0)
  • $-17,\ -12,\ -7,\ -2,\ 3,\ \dots$ (公差:$-5$)
  • $7,\ 5,\ 3,\ 1,\ -1,\ \dots$ (公差:$-2$)

等差数列の一般項

初項と公差が分かれば,等差数列の一般項が得られることは当たり前にしておきましょう.

つまり,初項$a$と公差$d$が与えられていれば,

  • 第2項は$a+d$
  • 第3項は$a+2d$
  • 第4項は$a+3d$
  • ……
  • 第100項は$a+99d$
  • ……

項が順に求まっていきます.

このように,順に考えれば一般項$a_n$は初項$a$に公差$d$を$(n-1)$回加えたものなので,

\begin{align*} a_n=a+(n-1)d \end{align*}

となることが分かります.これは覚えていなくても,考えれば瞬時に出てきますね.

逆に,「一般項が$a_n=a+(n-1)d$の数列$\{a_n\}$は等差数列である」も正しいことも簡単に確認できます.

実際,初項は

\begin{align*} a_1=a+(1-1)d=a \end{align*}

ですし,公差は

\begin{align*} a_{n}+d=\{a+(n-1)d\}+d=a+\{(n+1)-1\}d=a_{n+1} \end{align*}

と分かりました.よって,もとの数列が等差数列かどうか分からなくても,一般項が$a_n=a+(n-1)d$と表されていればその数列は実は等差数列だということが分かります.

初項$a$,公差$d$の数列$\{a_n\}$において,$a$に$d$を$(n-1)$回足すことで$a_n=a+(n-1)d$が得られる.逆に,$a_n=a+(n-1)d$と表される数列は初項$a$,公差$d$の等差数列である.

等比数列

等比数列も等差数列とほとんど同様に議論を進めることができます.

1つ次の項に移るごとに,同じ数がかけられている数列を等比数列という.また,このときに1つ次の項に移るごとにかけられている数を公比という.

例えば,以下は全て等差数列です.

  1.  $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \dots$ (公比:2)
  2.  $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \dots$ (公比:2)
  3.  $-9,\ -27,\ -81,\ -243,\ -729,\ \dots$ (公比:3)
  4.  $9,\ 3,\ 1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ \dots$ (公比:$\frac{1}{3}$)
  5.  $7,\ 7,\ 7,\ 7,\ 7,\ \dots$ (公比:1)
  6.  $2,\ -4,\ 8,\ -16,\ 32,\ \dots$ (公比:$-2$)
  7.  $10,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ \dots$ (公比:0)

等比数列の一般項

等差数列と同様に,初項と公比が分かれば,等比数列の一般項が得られることは当たり前にしておきましょう.

つまり,初項$a$と公比$r$が与えられていれば,

  • 第2項は$ar$
  • 第3項は$ar^2$
  • 第4項は$ar^3$
  • ……
  • 第100項は$ar^{99}$
  • ……

項が順に求まっていきます.

このように,順に考えれば一般項$a_n$は初項$a$に公比$r$を$(n-1)$回かけたものなので,

\begin{align*} a_n=ar^{n-1} \end{align*}

となることが分かります.

等差数列と等比数列の違いは,同じ数をかけているか足しているかだけで,並行に話を進めることができますね.

逆に,「一般項が$a_n=ar^{n-1}$の数列$\{a_n\}$は等差数列である」も正しいことも,やはり簡単に確認できます.

実際,初項は

\begin{align*} a_1=ar^{1-1}=a \end{align*}

ですし,公比は

\begin{align*} a_{n}\times r=(ar^{n-1})\times r=ar^{(n+1)-1}=a_{n+1} \end{align*}

なので$r$と分かりました.よって,もとの数列が等比数列かどうか分からなくても,一般項が$a_n=ar^{n-1}$と表されていればその数列は実は等比数列だということが分かります.

初項$a$,公比$r$の数列$\{a_n\}$において,$a$に$r$を$(n-1)$回かけることで$a_n=ar^{n-1}$が得られる.逆に,$a_n=ar^{n-1}$と表される数列は初項$a$,公差$r$の等差数列である.

数列$\{a_n\}$に対して

\begin{align*} a_1+a_2+\dots+a_n \end{align*}

といった数列の和を求めたいことがよくあります.次の記事では,等差数列と等比数列の和を求めます.

最後までありがとうございました!

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