\usepackage a m s m a t h \usepackage a m s f o n t s \usepackage a m s s y m b \usepackage f a n c y b o x \usepackage c h e m f i g \usepackage p g f p l o t s \pgfplotsset c o m p a t = n e w e s t \usetikzlibrary i n t e r s e c t i o n s, c a l c, a r r o w s

等比数列の和の公式｜例題から２パターンの使い分けを理解する

数列

2015.07.302023.04.29

最も基本的な数列として，等差数列・等比数列があるのでした．

これらの数列はさまざまな分かりやすい性質を持っており，初項から第 $n$ 項までの和を求める公式もよく知られています．

等差数列の和の公式は前回の記事で説明したので，この記事では

等比数列の和の公式と具体例
等比数列の和の公式の導出
等比数列の和の公式の補足

を順に説明します．

「数列」の一連の記事

数列の基礎

漸化式

目次

等比数列の和の公式と具体例
1. 具体例１（公比 $r$ が $r = 1$ の場合）
2. 具体例２（公比 $r$ が $r \neq 1$ の場合）
等比数列の和の公式の導出
1. 公比 $r$ が $r = 1$ の場合
2. 公比 $r$ が $r \neq 1$ の場合
等比数列の和の公式の補足
1. 因数分解から $r \neq 1$ の場合の公式を求める
2. 公比 $r$ が１より大きいか小さいかで対応する

等比数列の和の公式と具体例

等比数列の和の公式は

公比 $r$ が $r = 1$ の場合
公比 $r$ が $r \neq 1$ の場合

の２種類ありますが， $r = 1$ の場合は簡単なので重要なのは $r \neq 1$ の場合です．

初項 $a$ ，公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和は

$\begin{align*}a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1} =\begin{cases} \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}&(r\neq1)\\ an&(r=1) \end{cases}\end{align*}$

である．

具体例から使い方を見てみましょう．

具体例１（公比 $r$ が $r = 1$ の場合）

初項３，公比１の等比数列 $3, 3, 3, 3, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を $n$ で表せ．

上の公式の $a = 3$ , $r = 1$ の場合なので，

$\begin{align*}3+3+3+\dots+3=3n\end{align*}$

である．

このように，公比が $1$ のときは同じものを $n$ 個足し合わせるだけなので当たり前ですね．

具体例２（公比 $r$ が $r \neq 1$ の場合）

等比数列 $3, 6, 12, 24, 38, \dots$ の初項から第５０項までの和を求めよ．

等差数列 $3, 6, 12, 24, 38, \dots$ は初項３，公比２の等差数列だから上の公式の $a = 3$ , $r = 2$ の場合である．

よって，この数列の初項から第５０項までの和は

$\begin{align*}&\frac{3(2^{10}-1)}{2-1}=3(1024-1)=3069\end{align*}$

である．

等比数列の和の公式の導出

それでは公式を導出しましょう．

公比 $r$ が $r = 1$ の場合

$r = 1$ のとき，数列は

$\begin{align*}a,\ a,\ a,\ a,\ \dots\end{align*}$

です．よって，初項から第 $n$ 項までの和は $a$ を $n$ 個足すわけですから

$\begin{align*}a+a+a+\dots+a=na\end{align*}$

となりますね．

公比 $r$ が $r \neq 1$ の場合

まず，和を $S_{n}$ とおきます．つまり，

$\begin{align*}S_n=a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}\end{align*}$

です．両辺に $r - 1$ をかければ，

$\begin{align*}(r-1)S_n=(r-1)\bra{a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}}\end{align*}$

となります．この右辺は

$\begin{align*}&(r-1)\bra{a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}} \\=&a(r-1)\bra{1+r+r^2+\dots+r^{n-1}} \\=&a\brb{(r-1)+(r^2-r)+(r^3-r^2)+\dots+(r^n-r^{n-1})} \\=&a(r^n-1)\end{align*}$

と変形できるので，

$\begin{align*}(r-1)S_n=a(r^n-1)\end{align*}$

が成り立ちます．両辺を $r - 1$ で割って，求める公式

$\begin{align*}S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\end{align*}$

が得られます．

等比数列の和の公式の補足

基本が押さえられれば，以下のことにも注意できるようになると一層良いでしょう．

因数分解から $r \neq 1$ の場合の公式を求める

$x^{2} - y^{2}$ や $x^{3} - y^{3}$ が因数分解できるように，( $n$ 乗)-( $n$ 乗)も因数分解することができます．

実際，実数 $x$ , $y$ と任意の自然数 $n$ に対し， $x^{n} - y^{n}$ は

$\begin{align*}x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+y^{n-1})\end{align*}$

と因数分解できます．これを知っていれば， $x = r$ , $y = 1$ を代入して

$\begin{align*}r^n-1=(r-1)(r^{n-1}+r^{n-2}+r^{n-3}+\dots+1)\end{align*}$

となり，両辺に $\frac{a}{1 - r}$ をかけることで，すぐに等比数列の和の公式

$\begin{align*}\frac{r^n-1}{r-1}=a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}\end{align*}$

が得られます．

先ほどの導出と本質的には同じです．

公比 $r$ が１より大きいか小さいかで対応する

公比が $r \neq 1$ の場合の和は

$\begin{align*}a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\end{align*}$

ですが，右辺の分母と分子に $- 1$ をかけて

$\begin{align*}a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\end{align*}$

とも表せます．これらを

$r > 1$ の場合には $\frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1}$
$r < 1$ の場合には $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$

で使い分けると，いずれも分母は正の数となりますね．

このように，公比が１より大きいか小さいかで公式の形を使い分ければ，計算が少し見通しよくなります．

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