２次方程式の解の公式｜例題から使い方・導出を理解する

$x$の２次方程式$x^2-2x-3=0$は左辺を因数分解して$(x-3)(x+1)=0$となるので，$x=3,-1$が解と分かります．

それでは，簡単に因数分解できない次のような２次方程式は，どのように解けば良いでしょうか？

$x$の２次方程式$x^2-2x-2=0$を解け．

結論から言えば，このような２次方程式は平方完成を用いることで解くことができます．

さらに，この平方完成を用いる解法はどのような２次方程式に対しても用いることができ，これによって２次方程式の解の公式を導出することができます．

この記事では，

平方完成による２次方程式の解法
２次方程式の解の公式
２次式の因数分解

を順に説明します．

「多項式」の一連の記事

平方完成を用いる２次方程式の解法
２次方程式の解の公式
公式に頼らない２次式の因数分解
1. 因数分解と方程式の解
2. ２次式の因数分解の具体例

平方完成を用いる２次方程式の解法

具体例から平方完成による２次方程式の解法を考えてみましょう．

具体例１（$x^2-2x-2=0$）

まずは冒頭の問題を平方完成を用いて解いてみましょう．

（再掲）$x$の２次方程式$x^2-2x-2=0$を解け．

方程式の左辺$x^2-2x-2$は

$\begin{align*}x^2-2x-2=(x-1)^2-3\end{align*}$

と平方完成できる．よって，方程式は

$\begin{align*}(x-1)^2-3=0\iff(x-1)^2=3\end{align*}$

と変形できる．$X=x-1$とおくと$X^2=3$となり，これは$X=\pm\sqrt{3}$と解ける．$X$を$x$に戻して

$\begin{align*}x-1=\pm\sqrt{3}\iff x=1\pm\sqrt{3}\end{align*}$

が解である．

具体例２（${2x^2+8x+5=0}$）

２次の係数が$1$でない２次方程式も平方完成を用いて解いておきましょう．

（再掲）$x$の２次方程式$2x^2+8x+5=0$を解け．

方程式の左辺$2x^2+8x+5$は

$\begin{align*}2x^2+8x+5&=2(x^2+4x)+5=2(x^2+4x+4-4)+5 \\&=2(x^2+4x+4)-8+5=2(x+2)^2-3\end{align*}$

と平方完成できる．よって，方程式は

$\begin{align*}2(x+2)^2-3=0\iff(x-1)^2=\frac{3}{2}\end{align*}$

と変形できる．$X=x+2$とおくと$X^2=\frac{3}{2}$となり，これは$X=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$と解ける．$X$を$x$に戻して

$\begin{align*}x+2=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\iff x=-2\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\end{align*}$

が解である．

解法の手順

いまの２つの例題から，次のステップで２次方程式が解けることが見てとれますね．

［ステップ１］２次方程式$ax^2+bx+c=0$の左辺で平方完成を用いれば，方程式は

$\begin{align*}a(x-p)^2-q=0\end{align*}$

の形に変形できる．

［ステップ２］$q$を移項して両辺を$a$で割れば

$\begin{align*}a(x-p)^2=q\iff(x-p)^2=\frac{q}{a}\quad\dots(*)\end{align*}$

となる．

［ステップ３］両辺で平方根をとって$p$を移項すれば

$\begin{align*}x-p=\pm\sqrt{\frac{q}{a}}\iff x=p\pm\sqrt{\dfrac{q}{a}}\end{align*}$

と解ける．

$(*)$の両辺で平方根をとるのが分かりにくければ，上の例題のように$X=x-p$とおいて$X^2=\dfrac{q}{a}$とすれば$X=\pm\sqrt{\dfrac{q}{a}}$となるのが分かりやすいでしょう．

２次方程式の解の公式

いまの平方完成による２次方程式の解法はどんな２次方程式に対しても用いることができます．

そのため，２次方程式$ax^2+bx+c=0$の解を求めておけば，その式に$a,b,c$を代入することで解が得られることになりますね．

このようにして得られる公式を２次方程式の解の公式といいます．

［２次方程式の解の公式］$x$の２次方程式の$ax^2+bx+c=0$の解は

$\begin{align*}x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}$

である．

２次方程式の解の公式はさっと使えるくらいに覚えておきたいところです．

導出は後回しにして，具体例をいくつか考えておきましょう．

具体例１（${2x^2+x-3=0}$）

$x$の２次方程式$2x^2+x-3=0$を解け．

上の２次方程式の解の公式の$(a,b,c)=(2,1,-3)$の場合なので，解の公式より，

$\begin{align*}x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times(-3)}}{2\times2} \\&=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{4} =\frac{-1\pm5}{4} =1,-\frac{3}{2}\end{align*}$

である．

このように２次方程式の解の公式を用いてもいいですが，たすきがけ因数分解の公式から$2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)$に気付けば

$\begin{align*}2x^2+x-3=0 &\iff(2x+3)(x-1)=0 \\&\iff x=1,-\frac{3}{2}\end{align*}$

とも解けます．

因数分解に気付かなくても解の公式を使えば解けますが，因数分解できる場合には因数分解で解いた方が計算ミスは少ないですね．

具体例２（$x^2+2x-2=0$）

$x$の２次方程式$x^2+2x-2=0$を解け．

上の２次方程式の解の公式の$(a,b,c)=(1,2,-2)$の場合なので，解の公式より，

$\begin{align*}x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\&=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times1\times(-2)}}{2\times1} \\&=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{2} =-1\pm\sqrt{3}\end{align*}$

ですから，解は$-1+\sqrt{3}$と$-1-\sqrt{3}$です．

このように解の公式を用いてもいいですが，平方完成から

$\begin{align*}x^2+2x-2=0 &\iff (x+1)^2=3 \\&\iff x+1=\pm\sqrt{3} \\&\iff x=-1\pm\sqrt{3}\end{align*}$

とも解けます．

これくらいの２次方程式なら平方完成の方が速いし計算ミスも少ないでしょう．

具体例３（${2x^2+x-2=0}$）

$x$の２次方程式$2x^2+x-2=0$を解け．

上の２次方程式の解の公式の$(a,b,c)=(2,1,-2)$の場合なので，解の公式より，

$\begin{align*}x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times(-2)}}{2\times1} \\&=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}\end{align*}$

ですから，解は$\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}$と$\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}$です．

これくらいの２次方程式になると，平方完成は少し面倒なので解の公式を使えば良いなという感じですね．

解の公式の導出

それでは２次方程式の解の公式を導出しておきましょう．

［２次方程式の解の公式（再掲）］$x$の２次方程式の$ax^2+bx+c=0$の解は

$\begin{align*}x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}$

である．

２次式$ax^2+bx+c$は

$\begin{align*}ax^2+bx+c =&a\bra{x+\frac{b}{2a}}^2-\frac{b^2}{4a}+c \\=&a\bra{x+\dfrac{b}{2a}}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\end{align*}$

と平方完成できます．よって，２次方程式$ax^2+bx+c=0$は

$\begin{align*}&ax^2+bx+c=0 \\\iff&a\bra{x+\frac{b}{2a}}^2=\frac{b^2-4ac}{4a} \\\iff&\bra{x+\frac{b}{2a}}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\end{align*}$

となる．よって，両辺で平方根をとって

$\begin{align*}&x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\\iff&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}$

を得る．

公式に頼らない２次式の因数分解

最後に因数分解公式からは簡単に因数分解できない２次式を平方完成する方法を紹介します．

それでは，解の公式の例２，例３で登場した

$x^2+2x-2$
$2x^2+x-2$

などは因数分解の公式を適用するのが難しいですね．

因数分解と方程式の解

しかし，実は解が先に分かっている２次方程式は次のように因数分解することができます．

２次方程式$ax^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもてば，$ax^2+bx+c$は

$\begin{align*}ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\end{align*}$

と因数分解できる．

これは解が$\alpha,\beta$なら因数分解したときに$(x-\alpha)(x-\beta)$が現れるはずで，加えて２次の係数が$a$だからですね．

実はいまの因数分解は因数定理という定理がベースにありますが，少し先の話なのでこの記事では名前に触れるだけに留めます．

２次式の因数分解の具体例

この定理を用いて次の問題を解きましょう．

$x$の２次式$x^2+2x-2$, $2x^2+x-2$をそれぞれ因数分解せよ．

$x^2+2x-2=0$と$2x^2+x-2=0$の解は上の例より

$\begin{align*}&x^2+2x-2=0\iff x=-1\pm\sqrt{3}, \\&2x^2+x-2=0\iff x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}\end{align*}$

だったから，

$\begin{align*}x^2+2x-2 &=\brb{x-\bra{-1+\sqrt{3}}}\brb{x-\bra{-1-\sqrt{3}}} \\&=\bra{x+1-\sqrt{3}}\bra{x+1+\sqrt{3}}, \\2x^2+x-2 &=\bra{x-\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\bra{x-\frac{-1-\sqrt{17}}{2}} \\&=\bra{x+\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\bra{x+\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{align*}$