内分・外分のベクトルの公式｜三角形の重心の公式も紹介

図形と方程式の分野では線分の内分と外分を考えました．

ベクトルの分野でも内分・外分に関する便利な公式があり，図形を考える際に活躍します．

内分・外分のベクトルの公式の考え方は図形と方程式の分野の公式とほとんど変わらず，そのため公式の形もほとんど同じです．

この記事では

座標上の内分・外分公式
ベクトルの内分公式
ベクトルの外分公式
ベクトルの三角形の重心公式

について説明します．

「ベクトル」の一連の記事

座標上の内分・外分公式（復習）
ベクトルの内分公式
1. 具体例１（３：２に内分する点）
2. 具体例２（中点）
ベクトルの外分公式
1. 具体例３（３：１に外分する点）
2. 具体例４（１：３に外分する点）
重心のベクトル

座標上の内分・外分公式（復習）

ベクトルの内分・外分の公式は図形と方程式で学んだ内分・外分の公式と同じ形をしています．

そのため，まずは数直線上の内分・外分の公式を思い出しておきましょう．

［数直線上の内分の公式］数直線上の２点$\mrm{A}(a)$, $\mrm{B}(b)$に対し，線分ABを$m:n$に内分する点Pの座標は

$\begin{align*}\mrm{P}\bra{\frac{na+mb}{m+n}}\end{align*}$

である．

［数直線上の外分の公式］数直線上の２点$\mrm{A}(a)$, $\mrm{B}(b)$に対し，線分ABを$m:n$に外分する点Qの座標は

$\begin{align*}\mrm{Q}\bra{\frac{-na+mb}{m-n}}\end{align*}$

である．

外分のときは$m>n$のときと$m<n$のときで，外分点がどちら側の延長上にあるかが変わることに注意が必要でしたね．

ベクトルの内分公式

ベクトルの内分の公式を説明します．

３点O, A, Bを考える．線分ABを$m:n$に内分する点Pに対して，

$\begin{align*}&\Ve{OP}=\frac{n\Ve{OA}+m\Ve{OB}}{m+n}\end{align*}$

が成り立つ．

座標上の内分の公式と同様の形をしていることが意識できると，形が覚えやすい公式ですね．

点Pは線分ABを$m:n$に内分するから，

$\begin{align*}\Ve{AP}=\frac{m}{m+n}\Ve{AB}=\frac{m}{m+n}(\Ve{OB}-\Ve{OA})\end{align*}$

である．よって，

$\begin{align*}\Ve{OP}&=\Ve{OA}+\Ve{AP} \\&=\Ve{OA}+\frac{m}{m+n}(\Ve{OB}-\Ve{OA}) \\&=\bra{1-\frac{m}{m+n}}\Ve{OA}+\frac{m}{m+n}\Ve{OB} \\&=\frac{n\Ve{OA}+m\Ve{OB}}{m+n}\end{align*}$

が成り立つ．

具体例１（３：２に内分する点）

３点O, A, Bを考える．線分ABを$3:2$に内分する点Pに対して，$\Ve{OP}$を$\Ve{OA}$と$\Ve{OB}$を用いて表せ．

内分の公式より

$\begin{align*}\Ve{OP}=\frac{2\Ve{OA}+3\Ve{OB}}{3+2}&=\frac{2}{5}\Ve{OA}+\frac{3}{5}\Ve{OB} \\\Biggl(&=\frac{1}{2}\Ve{OA}+\frac{1}{2}\Ve{OB}\Biggr)\end{align*}$

である．

具体例２（中点）

中点が$1:1$に内分する点であることに注意すると，内分の公式が使えます．

３点O, A, Bを考える．線分ABの中点Pに対して，$\Ve{OP}$を$\Ve{OA}$と$\Ve{OB}$を用いて表せ．

線分ABの中点Pは，線分ABを$1:1$に内分する点だから，内分の公式より

$\begin{align*}\Ve{OP}=\frac{1\Ve{OA}+1\Ve{OB}}{1+1}&=\frac{\Ve{OA}+\Ve{OB}}{2} \\\Biggl(&=\frac{1}{2}\Ve{OA}+\frac{1}{2}\Ve{OB}\Biggr)\end{align*}$

である．

ベクトルの外分公式

次にベクトルの外分の公式を説明します．

３点O, A, Bに対して，線分ABを$m:n$に内分する点をQとすると，

$\begin{align*}\Ve{OQ}=\frac{-n\Ve{OA}+m\Ve{OB}}{m-n}\end{align*}$

が成り立つ．

座標上の外分の公式と同様の形をしていることが意識できると，形が覚えやすい公式ですね．

また，外分の場合は$m:n$の$m$と$n$のどちらの方が大きいかで，どちら側の延長にあるかが変わるので，図示する場合は注意してください．

(i) $m>n$のとき，外分点Qは線分ABのB側の延長上に存在する．

また，$\mrm{AQ}:\mrm{AB}=m:(m-n)$だから，

$\begin{align*}\Ve{AQ}=\frac{m}{m-n}\Ve{AB}=\frac{m}{m-n}(\Ve{OB}-\Ve{OA})\end{align*}$

である．

(ii) $m<n$のとき，外分点Qは線分ABのA側の延長上に存在する．

また，$\mrm{AQ}:\mrm{AB}=m:(n-m)$だから，

$\begin{align*}\Ve{AQ}=-\frac{m}{n-m}\Ve{AB}=\frac{m}{m-n}(\Ve{OB}-\Ve{OA})\end{align*}$

である．

(i), (ii)のいずれの場合も$\Ve{AQ}=\dfrac{m}{m-n}(\Ve{OB}-\Ve{OA})$だから，

$\begin{align*}\Ve{OQ}&=\Ve{OA}+\Ve{AQ} \\&=\Ve{OA}+\frac{m}{m-n}(\Ve{OB}-\Ve{OA}) \\&=\bra{1-\frac{m}{m-n}}\Ve{OA}+\frac{m}{m-n}\Ve{OB} \\&=\frac{-n\Ve{OA}+m\Ve{OB}}{m-n}\end{align*}$

が成り立つ．

分母・分子に$-1$をかければ

$\begin{align*}\Ve{OQ}=\dfrac{n\Ve{OA}-m\Ve{OB}}{-m+n}\end{align*}$

となるので，マイナスをつけるのは$n$の方でも$m$の方でもどちらでも構いませんね．

具体例３（３：１に外分する点）

３点O, A, Bを考える．線分ABを$3:1$に外分する点Qに対して，$\Ve{OQ}$を$\Ve{OA}$と$\Ve{OB}$を用いて表せ．

$\mrm{AQ}:\mrm{QB}=3:1$なので$\mrm{AQ}>\mrm{QB}$ですから，外分点QはB側の延長上にありますね．

外分の公式より

$\begin{align*}\Ve{OQ}=\frac{-1\Ve{OA}+3\Ve{OB}}{-1+3}&=\frac{-\Ve{OA}+3\Ve{OB}}{2} \\\Biggl(&=-\frac{1}{2}\Ve{OA}+\frac{3}{2}\Ve{OB}\Biggr)\end{align*}$

である．

具体例４（１：３に外分する点）

３点O, A, Bを考える．線分ABを$1:3$に外分する点Qに対して，$\Ve{OQ}$を$\Ve{OA}$と$\Ve{OB}$を用いて表せ．

$\mrm{AQ}:\mrm{QB}=1:3$なので$\mrm{AQ}<\mrm{QB}$ですから，外分点QはA側の延長上にありますね．

外分の公式より

$\begin{align*}\Ve{OQ}=\frac{-3\Ve{OA}+1\Ve{OB}}{1-3}&=\frac{3\Ve{OA}-\Ve{OB}}{2} \\\Biggl(&=\frac{3}{2}\Ve{OA}-\frac{1}{2}\Ve{OB}\Biggr)\end{align*}$