ベクトルの三角形の面積公式｜ベクトルの内積の便利な使い方

三角形$\mrm{OAB}$の面積$S$は

\begin{align*}S&=\frac{1}{2}\mrm{OA}\cdot\mrm{OB}\sin{\ang{O}}
\\&=|\ve{a}||\ve{b}|\sin{\theta}\end{align*}

と表せる．$0^\circ<\theta<180^\circ$だから$\sin{\theta}=\sqrt{1-\cos^2{\theta}}$なので，さらに

\begin{align*}S=\frac{1}{2}|\ve{a}||\ve{b}|\sqrt{1-\cos^2{\theta}}
=\frac{1}{2}\sqrt{|\ve{a}|^2|\ve{b}|^2-(|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta})^2}\end{align*}

と変形できる．よって，内積の定義

\begin{align*}\ve{a}\cdot\ve{b}=|\ve{a}||\ve{b}|\cos{\theta}\end{align*}

と併せて

\begin{align*}S=\frac{1}{2}\sqrt{|\ve{a}|^2|\ve{b}|^2-(\ve{a}\cdot\ve{b})^2}\end{align*}

が成り立つ．

$\ve{b}=\Ve{AB}$, $\ve{c}=\Ve{AC}$の長さと内積は

• $|\ve{b}|^2={b_1}^2+{b_2}^2$
• $|\ve{c}|^2={c_1}^2+{c_2}^2$
• $\ve{b}\cdot\ve{c}=b_1c_1+b_2c_2$

なので，

\begin{align*}&|\ve{b}|^2|\ve{c}|^2-(\ve{b}\cdot\ve{c})^2
\\&=({b_1}^2{c_1}^2+{b_1}^2{c_2}^2+{b_2}^2{c_1}^2+{b_2}^2{c_2}^2)-({b_1}^2{c_1}^2+2+b_1c_1b_2c_2+{b_2}^2{c_2}^2)
\\&={b_1}^2{c_2}^2-2b_1c_1b_2c_2+{b_2}^2{c_1}^2
\\&=(b_1c_2-b_2c_1)^2\end{align*}

である．よって，三角形の面積公式より

\begin{align*}S&=\frac{1}{2}\sqrt{|\ve{b}|^2|\ve{c}|^2-(\ve{b}\cdot\ve{c})^2}
\\&=\frac{1}{2}\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2}=\frac{1}{2}|b_1c_2-b_2c_1|\end{align*}

を得る．