数列５<br>１乗和・２乗和・３乗和の公式！４乗和・５乗和も紹介

数列には有象無象なものがたくさんあり，変な数列に対しては和が簡単に計算できないことも多いです．

しかし，和が簡単に計算できる性質の良い数列も多く，前回の記事で扱った

等差数列
等比数列

は和を簡単に求められる基本的な数列となっています．

この他に和を簡単に求められるものとして

１乗和$1+2+3+\dots+n$
２乗和$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$
３乗和$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$

があります．この記事では

１乗和・２乗和・３乗和の公式
公式の証明
４乗和・５乗和・……の公式の求め方

を順に説明します．

「数列」の一連の記事

数列の基礎

漸化式

１乗和・２乗和・３乗和の公式
1. 公式
2. 具体例
公式の導出
４乗和・５乗和・……の公式の導出

１乗和・２乗和・３乗和の公式

まずは公式を紹介して，具体例で使い方をみましょう．

公式

$1$から$n$までの整数の１乗和・２乗和・３乗和は次のようになります．

等式

$\begin{align*}&1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \\&1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \\&1^3+2^3+\dots+n^3=\brb{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2\end{align*}$

が成り立つ．

「１乗和」という表現は少し気持ち悪いですが，「２乗和」，「３乗和」との対応で「１乗和」という表現を使うことにします．

和の$\sum$を用いて

$\begin{align*}&\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, \\&\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \\&\sum_{k=1}^{n}k^3=\brb{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2\end{align*}$

と書いても同じことですね．

数列４
数列の和を表せるシグマ記号Σの定義と性質

数列の和を短く表す便利な記号としてシグマ記号Σがあります．この記事では，シグマ記号Σの定義，具体例，基本性質を説明します．

のちに説明するように１乗和はすぐに導けますが，２乗和・３乗和の導出は時間がかかってしまうため，２乗和・３乗和の公式は覚えることを推奨しています．

とはいえ，３乗和はたまたま「１乗和の２乗」になっているので覚えやすいので，結局ほとんど２乗和だけを覚えれば十分ということになりますね．

具体例

次の和を求めよ．

$1+2+\dots+100$
$1^2+2^2+\dots+10^2$
$1^3+2^3+\dots+8^3$

(1)１乗和の公式で$n=100$の場合なので，

$\begin{align*}1+2+\dots+100=\frac{100\cdot(100+1)}{2}=5050\end{align*}$

である．

(2)２乗和の公式で$n=10$の場合なので，

$\begin{align*}1^2+2^2+\dots+10^2=\frac{10\cdot(10+1)\cdot(2\cdot10+1)}{6}=385\end{align*}$

である．

(3)３乗和の公式で$n=8$の場合なので，

$\begin{align*}1^3+2^3+\dots+8^3=\brb{\frac{8(8+1)}{2}}^2=1296\end{align*}$

である．

公式の導出

それでは$1$から$n$までの整数の１乗和・２乗和・３乗和の公式を導出しましょう．

この２乗和・３乗和の導出法は次の記事で説明する階差数列の公式の導出と似た方法なので，この導出法は知っておいてください．

数列６
階差数列の考え方は簡単！公式を直感的に理解する考え方

1,4,9,16,25,Xと数が並んでいるとき，Xに当てはまる数はなんでしょうか？実はこの問題は「階差数列」の考え方で解ける問題です．この記事では階差数列の考え方と公式を直感的に理解する方法を解説します．

１乗和の公式の導出

１乗和の公式では

等差数列の和の公式を用いた導出
直感的な導出

の２つの方法を紹介します．

（再掲）等式

$\begin{align*}1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\end{align*}$

が成り立つ．

等差数列の和の公式を用いた導出

初項$a$，公差$d$の等差数列の初項から第$n$項までの和は

$\begin{align*}a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}\end{align*}$

であったことを思い出しましょう．

この公式は覚えていなくてもすぐに導けることを以前の記事で説明しました．

数列２
等差数列の和の公式を直感的に理解する方法

基本的な数列である等差数列の和を求める公式はよく知られています．この記事では，等差数列の和の公式を直感的に理解する方法を紹介し，具体例から使い方を説明します．

この公式から次のように導くことができますね．

和$1+2+3+\dots+n$は初項$1$，公差$1$の等差数列の初項から第$n$項までの和である．

よって，上の等差数列の和の公式に$(a,d)=(1,1)$を代入して

$\begin{align*}1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}$

と１乗和の公式が得られる．

直感的な導出

ただ証明するだけならいまの方法で十分ですが，次の直感的な導出法も知っておくと理解が深まります．

１個のブロック，２個のブロック，３個のブロック，４個のブロック，……を以下のように並べていきましょう．

これを$n$まで続けると，$1+2+\dots+n$のブロックが下図のように並びます．

このブロックと同じものを逆さまにして連結させると，数のように$n\times(n+1)$の長方形になります．

この長方形は$n(n+1)$個のブロックで構成されており，元の$1+2+3+\dots+n$はその半分なので，

$\begin{align*}1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{align*}$

が得られました．

この直感的な考え方は本質的に等差数列の和の公式の導出と同じ考え方です．

２乗和の公式の導出

（再掲）等式

$\begin{align*}1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{align*}$

が成り立つ．

任意の正の整数$k$に対して，等式

$\begin{align*}k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1\end{align*}$

が成り立つ（単純に左辺を展開すれば得られる）から，この等式の$k$に$k=1,2,\dots,n$を代入したものをすべてを足し合わせると，

$\begin{align*}\begin{matrix} &n^3-(n-1)^3&=&3n^2&-&3n&+&1\\ &&\vdots&&&&&\\ &3^3-2^3&=&3\cdot3^2&-&3\cdot3&+&1\\ &2^3-1^3&=&3\cdot2^2&-&3\cdot2&+&1\\ +)&1^3-0^3&=&3\cdot1^2&-&3\cdot1&+&1\\ \hline &n^3-0^3&=&3\sum\limits_{k=1}^{n}k^2&-&3\sum\limits_{k=1}^{n}k&+&n \end{matrix}\end{align*}$

となる（左辺はほとんどがマイナスとプラスで打ち消し合って$n^3$と$0^3$だけが残る）．

こうして得られた等式

$\begin{align*}n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+n\end{align*}$

の右辺の第２項の$\sum\limits_{k=1}^{n}k$は１乗和$\dfrac{n(n+1)}{2}$なので，

$\begin{align*}n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-\frac{3n(n+1)}{2}+n\end{align*}$

となる．これを整理すると，

$\begin{align*}3\sum_{k=1}^{n}k^2 =&n^3+\frac{3n(n+1)}{2}-n \\=&\frac{n\brb{2n^2+3(n+1)-2}}{2} \\=&\frac{n\bra{2n^2+3n+1}}{2} \\=&\frac{n(2n+1)(n+1)}{2}\end{align*}$

となるので，両辺を$3$で割って

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(2n+1)(n+1)}{6}\end{align*}$

を得る．

２乗和の公式の導出のポイントとなったのは等式$k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1$ですね．

$k=1,2,\dots,n$を代入したものを足し合わせると，左辺がプラスマイナスでほとんど打ち消し合うのがミソですね．

３乗和の公式の導出

（再掲）等式

$\begin{align*}1^3+2^3+\dots+n^3=\brb{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2\end{align*}$

が成り立つ．

証明の流れは２乗和の公式と同様です．

任意の正の整数$k$に対して，等式

$\begin{align*}k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1\end{align*}$

が成り立つから，この等式の$k$に$k=1,2,\dots,n$を代入したものをすべてを足し合わせると，

$\begin{align*}\begin{matrix} &n^4-(n-1)^4&=&4n^3&-&6n^2&+&4n&-&1\\ &&\vdots&&&&&&&\\ &3^4-2^4&=&4\cdot3^3&-&6\cdot3^2&+&4\cdot3&-&1\\ &2^4-1^4&=&4\cdot2^3&-&6\cdot2^2&+&4\cdot2&-&1\\ +)&1^4-0^4&=&4\cdot1^3&-&6\cdot1^2&+&4\cdot1&-&1\\ \hline &n^4-0^4&=&4\sum\limits_{k=1}^{n}k^3&-&6\sum\limits_{k=1}^{n}k^2&+&4\sum\limits_{k=1}^{n}k&-&n \end{matrix}\end{align*}$

となる．こうして得られた等式

$\begin{align*}n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-6\dsum_{k=1}^{n}k^2+4\dsum_{k=1}^{n}k-n\end{align*}$

の右辺の第２項の$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$は２乗和$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，第３項の$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$は１乗和$\dfrac{n(n+1)}{2}$なので，整理すると

$\begin{align*} 4\sum_{k=1}^{n}k^3 =&n^4+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n \\=&n\brb{n^3+(n+1)(2n+1)-2(n+1)+1} \\=&n\brb{n^3+(2n^2+3n+1)-(2n+2)+1} \\=&n\bra{n^3+2n^2+n} \\=&n^2\bra{n^2+2n+1} \\=&n^2(n+1)^2 \end{align*}$