数列の基本３｜１乗和，２乗和，３乗和の公式と導出

前の記事【数列の基本２｜等差数列と等比数列の和の公式】の続きです．

等差数列の和，等比数列の和は前回の記事で扱いました．他に数列の和で重要なものに1乗和，2乗和，3乗和があります．

1乗和 $1+2+3+\dots+n$ ，2乗和 $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$ ，3乗和 $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$ は $n$ を用いて表せるようになっておかなければなりません．

なお，1乗和の導出は簡単で，さらに3乗和は1乗和の2乗になっているので，実質的に覚えるのは2乗和だけで十分です．

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1 解説動画
2 1乗和，2乗和，3乗和の公式
3 公式の導出

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1乗和，2乗和，3乗和の公式

最初に公式を書いてしまいます．

[公式]　次の和の公式が成り立つ．

$\dsum_{k=1}^{n}k=1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ，
$\dsum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ，
$\dsum_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+\dots+n^3=\cub{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2$

これらが，それぞれ1乗和，2乗和，3乗和の公式です．「1乗和」という表現は少し気持ち悪いですが，「2乗和」，「3乗和」との対応で「1乗和」という表現を使うことにします．

「公式は導出から覚えろ」とよく言う私ですが，1乗和，2乗和，3乗和の公式は覚えてしまうことを推奨しています．

というのも，「1乗和，2乗和，3乗和の公式」の導出を知っておくことは大切ですが，とくに「2乗和，3乗和」の導出は時間がかかってしまうからです．ですから，公式を覚えておかないと時間のロスになってしまうのです．

公式の導出

1乗和の公式は等差数列の和の公式からすぐに出ます．

2乗和の公式，3乗和の公式は同じ方法で導出します．この導出方法は4乗和，5乗和，……とずっと続けることができますが，4乗以上の和を使うことはほとんどありませんので知らなくても問題ありません．

ですが，この導出法は「階差数列」のときと似た方法なので，この導出法は知っておいてください．

1乗和の公式の導出

1乗和の公式は「等差数列の和の公式からの導出法」と，「直感的な導出法」の2つが簡単です．

等差数列の和の公式からの導出法

復習ですが，初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和は

$a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$

です．

【参考記事：数列の基本２｜等差数列と等比数列の和の公式】

とくに，初項 $1$ ，公差 $1$ のときが，1乗和ですから，この公式に $a=1$ ， $d=1$ を代入して

$1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

と1乗和の公式が導けます．

2乗和の公式の導出

2乗和の公式のためには，次の等式が成り立つことに注意しておきます．

$k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1$

なお，これは左辺を展開すればすぐに成り立つことが分かります．この $k$ に $1$ ， $2$ ，……， $n$ を代入したものをすべてを足し合わせると，

$\begin{matrix} &n^3&-&(n-1)^3&=&3n^2&-&3n&+&1\\ &&&&\vdots&&&&&\\ &3^3&-&2^3&=&3\cdot3^2&-&3\cdot3&+&1\\ &2^3&-&1^3&=&3\cdot2^2&-&3\cdot2&+&1\\ +)&1^3&-&0^3&=&3\cdot1^2&-&3\cdot1&+&1\\ \hline &n^3&-&0^3&=&3\dsum_{k=1}^{n}k^2&-&3\dsum_{k=1}^{n}k&+&n \end{matrix}$

となります．左辺はマイナスとプラスで打ち消し合って $n^3$ と $0$ だけが残っています．こうして式

$n^3=3\dsum_{k=1}^{n}k^2-3\dsum_{k=1}^{n}k+n$

が得られました．この右辺の第2項の $\sum\limits_{k=1}^{n}k$ は1乗和 $\f{n(n+1)}{2}$ なので，

$n^3=3\dsum_{k=1}^{n}k^2-\f{3n(n+1)}{2}+n$

となります．これを整理すると，

$3\dsum_{k=1}^{n}k^2$
$=n^3+\f{3n(n+1)}{2}-n$
$=\f{n\cub{2n^2+3(n+1)-2}}{2}$
$=\f{n\bra{2n^2+3n+1}}{2}$
$=\f{n(2n+1)(n+1)}{2}$

となるので，両辺を3で割って，2乗和の公式

$\dsum_{k=1}^{n}k^2=\f{n(2n+1)(n+1)}{6}$

が得られます．

これは公式自体を覚えてしまう方が良いでしょう．

3乗和の公式の導出

3乗和の公式の導出も2乗和の公式の導出と同じ方法なので，2乗和の公式の導出と平行に話を進めます．

まず， $k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1$ であることに注意しておきます．なお，これも左辺を展開すればすぐに成り立つことが分かります．

この $k$ に $1$ を代入したものから $n$ を代入したものまですべてを足すと，

$\begin{matrix} &n^4\quad-&(n-1)^4&=&4n^3&-&6n^2&+&4n&-\quad1\\ &&&\vdots&&&&&&\\ &3^4\quad-&2^4&=&4\cdot3^3&-&6\cdot3^2&+&4\cdot3&-\quad1\\ &2^4\quad-&1^4&=&4\cdot2^3&-&6\cdot2^2&+&4\cdot2&-\quad1\\ +)&1^4\quad-&0^4&=&4\cdot1^3&-&6\cdot1^2&+&4\cdot1&-\quad1\\ \hline &n^4\quad-&0^4&=&4\dsum_{k=1}^{n}k^3&-&6\dsum_{k=1}^{n}k^2&+&4\dsum_{k=1}^{n}k&-\quad n \end{matrix}$

となります．左辺はマイナスとプラスで打ち消し合って $n^4$ と $0$ だけが残っています．こうして式

$n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-6\dsum_{k=1}^{n}k^2+4\dsum_{k=1}^{n}k-n$

が得られました．右辺の第2項の $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$ は2乗和 $\f{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ，第3項の $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$ は1乗和 $\f{n(n+1)}{2}$ なので，

$n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-6\times\f{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\times\f{n(n+1)}{2}-n$

となります．約分して，

$n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n$

となります．これを整理すると，

$4\dsum_{k=1}^{n}k^3$
$=n^4+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n$
$=n\cub{n^3+(n+1)(2n+1)-2(n+1)+1}$
$=n\cub{n^3+(2n^2+3n+1)-(2n+2)+1}$
$=n\bra{n^3+2n^2+n}$
$=n^2\bra{n^2+2n+1}$
$=n^2(n+1)^2$