1乗和，2乗和，3乗和の公式｜導出法から理解しよう

前回の記事で扱った

等差数列の和
等比数列の和

は数列の和の中でも簡単に求まるものですが，あまり変な数列を考えると数列の和が簡単に計算できないことも多いですが，

１乗和 $1+2+3+\dots+n$
２乗和 $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$
３乗和 $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$

は頻繁に現れる和で，計算することができます．

一連の記事はこちら

【数列の基本１｜等差数列と等比数列の一般項】
【数列の基本２｜[等差数列の和の公式]と[等比数列の和の公式]】
【数列の基本３｜数列の和を表すシグマ記号Σの定義と性質】
【数列の基本４｜超重要な和の公式[１乗和/２乗和/３乗和]】←今の記事
【数列の基本５｜階差数列の一般項と公式】
【数列の基本６｜部分分数分解を用いて計算する数列の和】
【数列の基本７｜[等差×等比]型数列の和は引き算がポイント】

【漸化式の基本１｜漸化式とは？漸化式の考え方を例から解説！】
【漸化式の基本２｜等差数列，等比数列の漸化式】
【漸化式の基本３｜数学的帰納法の仕組みと例】

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１乗和，２乗和，３乗和の公式

以下が１乗和，２乗和，３乗和の公式です．

[公式]　次の和の公式が成り立つ．

$\begin{align*} &1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \\&1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \\&1^3+2^3+\dots+n^3=\brb{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2 \end{align*}$

なお，「１乗和」という表現は少し気持ち悪いですが，「２乗和」，「３乗和」との対応で「１乗和」という表現を使うことにします．

同じことですが，和の $\sum$ を用いると

$\begin{align*} &\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, \\&\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \\&\sum_{k=1}^{n}k^3=\brb{\dfrac{n(n+1)}{2}}^2 \end{align*}$

とも書けますね．

さて，後に述べるように１乗和はすぐに導けますが，２乗和，３乗和の公式は覚えてしまうことを推奨しています．

２乗和，３乗和の導出を知っておくことは大切ですが，２乗和と３乗和の導出は時間がかかってしまうため，公式を覚えておかないと時間のロスになってしまうのです．

とはいえ，３乗和は１乗和の２乗になっているので覚えやすいですね．

ですから，結局覚えるのはほとんど２乗和だけで良いことになりますね．

１乗和はすぐに導出できるが，２乗和と３乗和はすぐには導出できないので覚えておく．ただし，３乗和は「１乗和の２乗」で覚えやすいので，ほとんど２乗和を覚えれば十分である．

公式の導出

１乗和は「等差数列の和の公式」もしくは，「直感的な方法」からすぐに分かります．

また，２乗和，３乗和は同じ方法で導出します．

この２乗和の公式，３乗和の導出法は「階差数列」の公式を求めるのと似た方法なので，この導出法は知っておいてください．

１乗和の公式の導出

1乗和の公式は「等差数列の和の公式からの導出法」と，「直感的な導出法」の２つが簡単です．

等差数列の和の公式からの導出法

初項 a ，公差 d の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和は

$\begin{align*} a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}$

となることを思い出しましょう．

【数列の基本２｜[等差数列の和の公式]と[等比数列の和の公式]】

数列の和は簡単に求まるわけではありませんが，「等差数列の和」と「等比数列の和」はとても簡単に求めることができます．等差数列の和は平均を考えることで求まり，等比数列の和は $x^n-y^n$ の因数分解を用いることで求まります．

等差数列の和の中でも，初項１，公差１のときの和が１乗和なので，この等比数列の和の公式に $(a,d)=(1,1)$ を代入して

$\begin{align*} 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \end{align*}$

と1乗和の公式が得られます．

視覚的な導出法

視覚的に導出することもできます．

１個のブロック，２個のブロック，３個のブロック，４個のブロック，……を以下のように並べていきましょう．

これを $n$ まで続けると， $1+2+\dots+n$ のブロックが下図のように並びます．

このブロックと同じものを逆さまにして連結させると，数のように $n\times(n+1)$ の長方形になります．

この長方形は $n(n+1)$ 個のブロックで構成されており，元の $1+2+3+\dots+n$ はその半分なので，

$\begin{align*} 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \end{align*}$

が得られました．

２乗和の公式の導出

[２乗和の公式]の導出には，次の等式を用います．

$\begin{align*} k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1 \end{align*}$

これは左辺を展開すればすぐに成り立つことが分かります．

この等式の $k$ に $k=1,2,\dots,n$ を代入したものをすべてを足し合わせると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &n^3-(n-1)^3&=&3n^2&-&3n&+&1\\ &&\vdots&&&&&\\ &3^3-2^3&=&3\cdot3^2&-&3\cdot3&+&1\\ &2^3-1^3&=&3\cdot2^2&-&3\cdot2&+&1\\ +)&1^3-0^3&=&3\cdot1^2&-&3\cdot1&+&1\\ \hline &n^3-0^3&=&3\sum\limits_{k=1}^{n}k^2&-&3\sum\limits_{k=1}^{n}k&+&n \end{matrix} \end{align*}$

となります．左辺はマイナスとプラスで打ち消し合って $n^3$ と０だけが残っていますね．こうして等式

$\begin{align*} n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+n \end{align*}$

が得られました．この右辺の第２項の $\sum\limits_{k=1}^{n}k$ は１乗和 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ なので，

$\begin{align*} n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-\frac{3n(n+1)}{2}+n \end{align*}$

となります．これを整理すると，

$\begin{align*} 3\sum_{k=1}^{n}k^2 =&n^3+\frac{3n(n+1)}{2}-n \\=&\frac{n\brb{2n^2+3(n+1)-2}}{2} \\=&\frac{n\bra{2n^2+3n+1}}{2} \\=&\frac{n(2n+1)(n+1)}{2} \end{align*}$

となるので，両辺を３で割って，[２乗和の公式]

$\begin{align*} \dsum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(2n+1)(n+1)}{6} \end{align*}$

が得られます．

３乗和の公式の導出

[３乗和の公式]の導出は[２乗和の公式]の導出と同じ方法でできます．まず，

$\begin{align*} k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1 \end{align*}$

であることも左辺を展開すればすぐに成り立つことが分かりますね．

この $k$ に $k=1,2,\dots,n$ を代入して足し合わせると，

$\begin{align*} \begin{matrix} &n^4-(n-1)^4&=&4n^3&-&6n^2&+&4n&-&1\\ &&\vdots&&&&&&&\\ &3^4-2^4&=&4\cdot3^3&-&6\cdot3^2&+&4\cdot3&-&1\\ &2^4-1^4&=&4\cdot2^3&-&6\cdot2^2&+&4\cdot2&-&1\\ +)&1^4-0^4&=&4\cdot1^3&-&6\cdot1^2&+&4\cdot1&-&1\\ \hline &n^4-0^4&=&4\sum\limits_{k=1}^{n}k^3&-&6\sum\limits_{k=1}^{n}k^2&+&4\sum\limits_{k=1}^{n}k&-&n \end{matrix} \end{align*}$

となります．左辺はマイナスとプラスで打ち消し合って $n^4$ と０だけが残っています．こうして等式

$\begin{align*} n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-6\dsum_{k=1}^{n}k^2+4\dsum_{k=1}^{n}k-n \end{align*}$

が得られました．右辺の第２項の $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$ は２乗和 $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ，第３項の $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$ は１乗和 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ なので，

$\begin{align*} n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-6\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\times\dfrac{n(n+1)}{2}-n \end{align*}$

となります．約分して，

$\begin{align*} n^4=4\dsum_{k=1}^{n}k^3-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n \end{align*}$

となります．これを整理すると，

$\begin{align*} 4\dsum_{k=1}^{n}k^3 =&n^4+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n \\=&n\brb{n^3+(n+1)(2n+1)-2(n+1)+1} \\=&n\brb{n^3+(2n^2+3n+1)-(2n+2)+1} \\=&n\bra{n^3+2n^2+n} \\=&n^2\bra{n^2+2n+1} \\=&n^2(n+1)^2 \end{align*}$

となるので，両辺を４で割って，[３乗和の公式]

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{align*}$

が得られます．なお，これは

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k^3=\bra{\frac{n(n+1)}{2}}^2 \end{align*}$

とも表せますね．

３乗和は「１乗和の２乗」に等しいので覚えやすい．

m乗和の公式の導出

さて，上で書いたことが理解できていれば， $m>3$ の場合でも，２乗和，３乗和と同様に和の公式が導けることが分かるでしょう．

$k^{m+1}-(k-1)^{m+1}$ は $m$ 次式ですから，上の方法と同様にして４乗和，５乗和と順に求めることができます．

計算は非常に多くなりますが，興味のある人は計算してみるとよいでしょう．

【次の記事：数列の基本５｜階差数列の一般項と公式】

中学入試などでは「 $1, 2, 4, 7, 11, 16, \square$ の $\square$ に入る数字を求めよ」といった問題が出題されることがありますが，この問題はまさに「階差数列」を使う問題です．階差数列の公式も分かっていれば当たり前に成り立つことが分かるので，覚える必要がありません．