虚数解をもつn次方程式の頻出問題２タイプ

そもそも高校数学で複素数が現れたのは，２次方程式の実数でない解を表すためでした．

例えば，実数は２乗すると必ず０以上となるため，実数$x$に対して$x^2+1=0$の左辺は１以上となりこの等式は成り立ち得ません．

しかし，２乗すると$-1$となる虚数単位$i$を導入することで，未知数$x$の２次方程式$x^2+1=0$の解を$\pm i$と表せるようになるのでした．

このように，複素数$a+bi$ ($a,b$は実数)は$n$次方程式を考える上で重要な役割を果たします．

この記事では

虚数解をもつ$n$次方程式
１の原始３乗根$\omega$

を順に説明します．

「複素数」の一連の記事

虚数解をもつ$n$次方程式
１の原始３乗根ω
1. １の原始３乗根ωの性質
2. ωの多項式

虚数解をもつ$n$次方程式

$n$次方程式が虚数解をもつような$n$次方程式は，大学入試でもよく出題されます．

虚数解と共役複素数（復習）

まずは虚数と共役複素数を思い出しておきましょう．

複素数$z=a+bi$ ($a,b$は実数)を考える．$b\neq0$のとき，この複素数$z$を虚数 (imaginary number)という．

例えば，$2+i$, $3-2i$, $5i$のように虚部が０でない複素数のことを虚数というわけですね．

複素数$z=a+bi$ ($a,b$は実数)に対して，複素数$a-bi$を$z$の共役複素数といい，$\overline{z}$で表す．

つまり，虚部の正負を入れ替えてできる複素数を共役複素数というわけですね．

例えば，$2+i$の共役複素数は$2-i$であり，$5i$の共役複素数は$-5i$ですね．

虚数解をもつ実数係数$n$次方程式

$n$次方程式の虚数解について，以下が成り立ちます．

実数係数の$n$次方程式が虚数解$\alpha$をもてば，その共役複素数$\overline{\alpha}$も解となる．

たとえば，$x$の方程式$x^2+x+1=0$は平方完成により

$\begin{align*}x^2+x+1=0 \iff& \bra{x+\frac{1}{2}}^2=-\frac{3}{4} \\\iff& x+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i \\\iff& x=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{align*}$

と解くことができ，この２つの解

$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
$-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

は確かに共役複素数ですね．

いまの例のように，実数係数の$n$次方程式が虚数解$\alpha$を持つなら，実際に解かなくても必ず$\alpha$の共役複素数$\overline{\alpha}$も解になっているということを主張しているのが上の定理なわけですね．

実数係数の$n$次方程式$c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\dots+c_1x+c_0=0$が虚数解$\alpha$をもつとする．このとき，$x$に$\alpha$を代入した等式

$\begin{align*}c_n\alpha^n+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+c_1\alpha+c_0=0\end{align*}$

が成り立つ．係数$c_0,c_1,\dots,c_n$は実数だから複素共役をとっても変わらないことに注意すると，両辺で複素共役をとることにより

$\begin{align*}&\overline{c_n\alpha^n+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+c_1\alpha+c_0}=\overline{0} \\\Ra&c_n\overline{\alpha}^n+c_{n-1}\overline{\alpha}^{n-1}+\dots+c_1\overline{\alpha}+c_0=0\end{align*}$