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数列の基本2|シグマ記号と等差数列/等比数列の和の公式

前回の記事でも説明したように,等差数列と等比数列は数列の中でも考えやすいものなのでした.

数列の和を考える際にも,等差数列と等比数列は非常に考えやすい数列で,

  • 初項a,公差dの等差数列の初項から第n項までの和は

    \begin{align*} \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}

  • 初項a,公差rの等差数列の初項から第n項までの和は

    \begin{align*} \begin{cases} \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}&(r\neq1)\\ an&(r=1) \end{cases} \end{align*}

となります.

これらは一見複雑に見えるかもしれませんが,考え方を理解していれば覚えていなくても瞬時に導くことができます.

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数列の和

数列の項をいくつか順に足し合わせたものを「数列の和」といいます.

なお,数列の項を無限に足していく場合は「無限級数」といいますが,これは数IIIの範囲です.

【関連カテゴリー:無限級数

シグマ記号

さて,数列の和の記号を定義します.

i\le jとし,数列\{a_n\}の第i項から第j項までの和a_i+a_{i+1}+\dots+a_j\sum\limits_{k=i}^{j}a_kと表す.

つまり,

\begin{align*} \sum_{k=i}^{j}a_k =a_i+a_{i+1}+\dots+a_j \end{align*}

ですね.

つまり,\sum\limits_{k=i}^{j}a_ka_kkに,iを代入したものからjを代入したものまでを順に足し合わせる」ということですね.

なお,この\Sigmaは18番目のギリシャ文字で「シグマ」と読みます.なお\Sigmaは大文字で,小文字は\sigmaと書きます.

シグマ記号の例

例えば,たとえば,

  • \dsum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\dots+n
  • \dsum_{k=1}^{n}2^k=2+4+8+\dots+2^n
  • \dsum_{k=3}^{n}k^2=9+16+25+\dots+n^2
  • \dsum_{k=10}^{20}\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}+\dots+\dfrac{1}{20}

となります.

ずらずらと足し算を並べていてはスペースの無駄ですし,書くのに時間がかかります.ですから,\sumはスペースと時間の節約のために使われるのです.

\sumが現れると難しく感じてしまう人もいるようですが,「\sumとか大袈裟な記号を使ってるけど,中身はただの和a_i+a_{i+1}+\dots+a_jやな」と頭の中で自動で変換できるくらいにして下さい.

シグマ記号\sumは単に和を省略して書いているだけで,どのような和を表しているのか頭の中で自動変換できるようにしたい.

等差数列

等差数列の初項から第n項までの和を求めます.つまり,\sum\limits_{k=1}^{n}\{a+(n-1)d\}を求めます.

等差数列の和の公式は公式自体を丸暗記していては,すぐに忘れてしまいます.ではどうすればいいのかというと,公式の導出法を覚えてしまいます.公式の導出法は難しくないので,一度理解してしまえば公式の導出法はすぐに覚えられますし,納得すれば忘れません.

実際,私も公式自体ではなく公式の導出法を覚えており,必要な時には公式の導出法を考えて公式を導きます.慣れれば数秒もかかりません.公式を自分で導ければ丸暗記するよりもずっと安心できますし,なによりちゃんと理解できている証拠にもなります.

等差数列の和の公式

等差数列の和に関して,次の公式が成り立ちます.

初項a,公差dの等差数列の初項から第n項までの和は

\begin{align*} \dsum_{k=1}^{n}\{a+(n-1)d\}=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}

である.

たとえば,数列3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ \dotsは初項3,公差4の等差数列ですからa=3,\ d=4です.この数列の初項から第50項までの和は公式から,

\begin{align*} \frac{50(2\times3+(50-1)\times4)}{2} =&50(3+49\times2) \\=&150+49\times100 \\=&5050 \end{align*}

と分かります.

この程度の計算はさっとできるようになりたいところです.

【参考記事:計算ミスを減らす方法

「等差数列の和の公式」の導出

公式を導出します.

まず,和をS_nとおきます.つまり,

\begin{align*} S_n=a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\} \end{align*}

です.また,これは第n項から初項に向かって逆に足すと考えれば,

\begin{align*} S_n=\{a+(n-1)d\}+\{a+(n-2)d\}+\{a+(n-3)d\}+\dots+a \end{align*}

と表せます.この2式の両辺を足せば,

\begin{align*} \begin{matrix}&S_n&=&a&+&\dots&+&\{a+(n-1)d\}\\ -)&S_n&=&\{a+(n-1)d\}&+&\dots&+&a\\ \hline &2S_n&=&2a+(n-1)d&+&\dots&+&2a+(n-1)d\end{matrix} \end{align*}

となります.このとき,右辺は2a+(n-1)dn個足されているので,n\{2a+(n-1)d\}となります.つまり,

\begin{align*} 2S_n=n\{2a+(n-1)d\} \end{align*}

が成り立ちます.両辺を2で割って,求める公式

\begin{align*} S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}

が得られます.

「等差数列の和の公式」の直感的な導出

少し厳密性がありませんが,直感的には次のように考えれば,すぐに出ます.

n項までの等差数列a,a+d,a+2d,\dots,a+(n-1)dの平均は,初項aと末項a+(n-1)dの平均

\begin{align*} \dfrac{a+\{a+(n-1)d\}}{2}=\dfrac{2a+(n-1)d}{2} \end{align*}

に一致します.よって,第n項までの等差数列の和a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}はこの平均\dfrac{2a+(n-1)d}{2}n倍に等しくなります.

したがって,

\begin{align*} a+(a+d)+(a+2d)+\dots+\{a+(n-1)d\}=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}

が得られます.

重要な場合

初項1,公差1の場合の数列1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dotsの和は特に重要です.この場合,a=1,\ r=1ですから,初項から第n項までの和は

\begin{align*} 1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \end{align*}

となります.これも確かに,初項1と末項nの平均\frac{n+1}{2}nをかけたものになっていますね.

初項a,公差dの等差数列の初項から第n項までの和S_nは,

\begin{align*} S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} \end{align*}

である.これは,初項から第n項までの平均が\dfrac{2a+(n-1)d}{2}であることから直感的に理解できる.また,a=d=1の場合はS_n=\dfrac{n(n+1)}{2}である.

等比数列

等比数列の初項から第n項までの和を求めます.つまり,\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{n-1}を求めます.

こちらも,等差数列の和の公式同様,導出法から納得することが大切です.そうすればそう簡単に忘れることはありません.

等比数列の和の公式は公比がr=1の場合とr\neq1の場合の2種類ありますが,r=1の場合は簡単なので重要なのはr\neq1の場合です.

等比数列の和の公式

等比数列の和に関して,次の公式が成り立ちます.

初項a,公比rの等比数列の初項から第n項までの和の公式は

\begin{align*} \dsum_{k=1}^{n}ar^{n-1} =\begin{cases} \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}&(r\neq1)\\ an&(r=1) \end{cases} \end{align*}

である.

r≠1の場合

たとえば,数列3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 38,\ \dotsは初項2,公比3の等比数列ですからa=3,\ r=2です.この数列の初項から第10項までの和は公式から,

\begin{align*} \dfrac{3(2^{10}-1)}{2-1}=3(1024-1)=3069 \end{align*}

と分かります.

このように,初項3,公比2の数列でもたった第10項までの和が3000をこえています.等比数列は急激に増加しますので,等比級数の和も急激に増加しますから,和は意外と大きな値になります.

なお,2^nn=10までは覚えておくと非常に便利です.

r=1の場合

また,数列7,\ 7,\ 7,\ 7,\ \dotsは初項7,公比1の等比数列ですから,a=7,\ r=1です.この数列の初項から第50項までの和は公式から,

\begin{align*} 7\times50=350 \end{align*}

と分かります.こちらは公式を覚えなくても,和は簡単に求まりますね.

「等比数列の和の公式」の導出

公式を導出します.

r≠1の場合

まず,和をS_nとおきます.つまり,

\begin{align*} S_n=a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1} \end{align*}

です.両辺にr-1をかければ,

\begin{align*} (r-1)S_n=(r-1)\bra{a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}} \end{align*}

となります.この右辺は

\begin{align*} &(r-1)\bra{a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}} \\=&a(r-1)\bra{1+r+r^2+\dots+r^{n-1}} \\=&a\brb{(r-1)+(r^2-r)+(r^3-r^2)+\dots+(r^n-r^{n-1})} \\=&a(r^n-1) \end{align*}

と変形できるので,

\begin{align*} (r-1)S_n=a(r^n-1) \end{align*}

が成り立ちます.両辺をr-1で割って,求める公式

\begin{align*} S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\bra{=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}} \end{align*}

が得られます.

r=1の場合

r=1のとき,数列はa,\ a,\ a,\ a,\ \dotsですから,初項から第n項までの和が

\begin{align*} a+a+a+\dots+a=na \end{align*}

となることは明らかでしょう.

初項a,公差rの等差数列の初項から第n項までの和S_nは,

\begin{align*} S_n=\begin{cases} \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}&(r\neq1)\\ an&(r=1) \end{cases} \end{align*}

である.r\neq1の場合とr=1の場合で和が異なることに注意.

補足

因数分解

実は,次の因数分解は有名です.異なる実数a,\ bと,任意の自然数nに対し,

\begin{align*} x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+y^{n-1}) \end{align*}

となります.これを知っていれば,x=r,\ y=1の場合,

\begin{align*} r^n-1=(r-1)(r^{n-1}+r^{n-2}+r^{n-3}+\dots+1) \end{align*}

を考え,両辺に\dfrac{a}{1-r}をかけることで,すぐに等比数列の和の公式\dfrac{r^n-1}{r-1}=a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}が得られます.

rによって形を変える

公比がr\neq1の場合の和は\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}ですが,これは分母分子に-1をかけて\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}とも書けます.

どちらも同じものですが,公比が1より大きいときは\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}を使うと分母分子が正の数になり,一方,公比が1より小さいときは\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}を使うと,分母分子が正の数になります.

このように,公比が1より大きいか小さいかで公式の形を使い分ければ,計算が少し見やすくなります.

次の記事【数列の基本3|1乗和,2乗和,3乗和の公式と導出】に続きます.

最後まで読んで下さってありがとうございました!

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