２次関数のグラフと最小値・最大値は平方完成で求める！

２次関数$y=ax^2$は

$a>0$のとき，頂点$(0,0)$の下に凸な放物線を$xy$平面上に描き，$y$の最小値は０となる
$a<0$のとき，頂点$(0,0)$の上に凸な放物線を$xy$平面上に描き，$y$の最大値は０となる

のでした．実は，１次の項$bx$と定数項$c$を加えた２次関数\begin{align*}y=ax^2+bx+c\end{align*}の$xy$平面上のグラフも放物線となり，平方完成という変形により頂点を求めることができます．さらに，その副産物として，$a>0$のときは$y$の最小値を，$a<0$のときは$y$の最大値を求めることができます．

この記事では

平方完成と２次関数のグラフ
平方完成の手順と具体例
２次関数のグラフと最大値・最小値

を順に解説します．

「多項式」の一連の記事

平方完成と２次関数のグラフ
1. 平方完成とは変数を２乗でまとめる変形のこと
2. ２次関数を平方完成して頂点を求める
平方完成の手順と具体例
２次関数のグラフと最大値・最小値
1. ２次関数のグラフは放物線
2. ２次関数のグラフと最大値・最小値の具体例

平方完成と２次関数のグラフ

まずは２次式の平方完成がどういうものか説明し，それをもとに２次関数$y=ax^2+bx+c$の頂点の求め方を説明します．

平方完成とは変数を２乗でまとめる変形のこと

例えば，２次式$x^2+2x-2$を考えます．２次式の２乗型の因数分解公式$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$より

\begin{align*}x^2+2x+1=(x+1)^2\end{align*}

ですから，

\begin{align*}x^2+2x-2=(x^2+2x+1)-3=(x+1)^2-3\end{align*}

と変形できますね．このように，変数を２乗にまとめる変形を平方完成といいます．

２次式$ax^2+bx+c$（$a\neq0$）を

\begin{align*}a(x+\alpha)^2+\beta\end{align*}

の形の式に変形することを平方完成という．

２次関数を平方完成して頂点を求める

上でみた平方完成より，２次関数$y=x^2+2x-2$は

\begin{align*}y=(x+1)^2-3\end{align*}

と変形することができます．一般に実数の２乗は０以上ですから$(x+1)^2\geqq0$なので，$y\geqq-3$と分かります．また，$x=-1$のときに$y=-3$となります．

このことから，２次関数$y=x^2+2x-2$の$xy$平面上のグラフは下図のようなグラフになりそうですね．

$x=-1$のときに$y$は最小値$-3$をとる

実はこのグラフは放物線となっており，一般に２次関数$y=a(x-p)^2+q$（$a\neq0$）は

$a>0$のとき，頂点$(p,q)$の下に凸な放物線を$xy$平面上に描き，$y$の最小値は$q$
$a<0$のとき，頂点$(p,q)$の上に凸な放物線を$xy$平面上に描き，$y$の最大値は$q$

となります．

いまの議論だけでは，グラフが放物線になることまでは言えていませんが，放物線となることはこの記事の最後で証明します．

平方完成の手順と具体例

一般に２次式$x^2+bx+c$の平方完成は次の手順によりできます．

$b$の$\frac{1}{2}$倍の２乗$\bra{b\times\frac{1}{2}}^2=\frac{b^2}{4}$を足し引きする：$x^2+bx+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}+c$
$x^2+bx+\frac{b^2}{4}$を（　）でひとまとめにする：$\bra{x^2+bx+\frac{b^2}{4}}-\frac{b^2}{4}+c$
（　）の部分に２乗の因数分解公式を用いる：$\bra{x+\frac{b}{2}}^2-\frac{b^2}{4}+c$

一般的に書くと難しく感じるかもしれませんが，以下で具体的にやってみれば，それほど難しいものではないことが分かります．

具体例１（$x^2+2x$の平方完成）

２次式$x^2+2x$を平方完成せよ．

$x^2+2x$の１次の係数２の$\frac{1}{2}$倍の２乗は$\bra{2\times\frac{1}{2}}^2=1$なので，この１を足し引きして

\begin{align*}x^2+2x&=x^2+2x+1-1\\&=(x^2+2x+1)-1\end{align*}

とします．このとき$x^2+2x+1$に２乗の因数分解公式が使えて

\begin{align*}x^2+2x=(x+1)^2-1\end{align*}

となります．

具体例２（$x^2+6x+1$の平方完成）

２次式$x^2+6x+1$を平方完成せよ．

$x^2+6x+1$の１次の係数６の$\frac{1}{2}$倍の２乗は$\bra{6\times\frac{1}{2}}^2=9$なので，この９を足し引きして

\begin{align*}x^2+6x+1&=x^2+6x+9-9+1\\&=(x^2+6x+9)-9+1\end{align*}

とします．このとき$x^2+6x+9$に２乗の因数分解公式が使えて

\begin{align*}x^2+6x+1=(x+3)^2-8\end{align*}

となります．

具体例３（${}3x^2-6x+1$の平方完成）

２次式$3x^2-6x+1$を平方完成せよ．

２次の係数が１でない場合は，最初に２次の係数３で１次と２次をくくることで平方完成ができます．

$3x^2-6x+1$の２次の係数３で１次と２次をくくって

\begin{align*}3x^2-6x+1=3(x^2-2x)+1\end{align*}

です．（　）の中の１次の係数−２の$\frac{1}{2}$倍の２乗は$\bra{-2\times\frac{1}{2}}^2=1$なので，この１を（　）の中で足し引きして

\begin{align*}3x^2-6x+1&=3(x^2-2x+1-1)+1\\&=3\{(x^2-2x+1)-1\}+1\end{align*}

とします．このとき$x^2-2x+1$に２乗の因数分解公式が使えて

\begin{align*}3x^2-6x+1&=3\{(x-1)^2-1\}+1\\&=3(x-1)^2-3+1\\&=3(x-1)^2-2\end{align*}

となります．

具体例４（${}2x^2-2x+1$の平方完成）

２次式$2x^2-2x+1$を平方完成せよ．

この問題も２次の係数が２なので，最初にこの２で１次と２次をくくります．

$2x^2-2x+1$の２次の係数２で１次と２次をくくって

\begin{align*}2x^2-2x+1=2(x^2-x)+1\end{align*}

です．（　）の中の１次の係数−１の$\frac{1}{2}$倍の２乗は$\bra{-1\times\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{4}$なので，この$\frac{1}{4}$を（　）の中で足し引きして

\begin{align*}2x^2-2x+1&=2\bra{x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}+1\\&=2\brb{\bra{x^2-x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}}+1\end{align*}

とします．このとき$x^2-x+\frac{1}{4}$に２乗の因数分解公式が使えて

\begin{align*}2x^2-2x+1&=2\brb{\bra{x-\frac{1}{2}}^2-\frac{1}{4}}+1\\&=2\bra{x-\frac{1}{2}}^2-\frac{1}{2}+1\\&=2\bra{x-\frac{1}{2}}^2+\frac{1}{2}\end{align*}

となります．

分数が現れても同じようにできますね．