まずは次の問題を考えましょう．
２次方程式$x^2-3x+3=0$は実数解を何個もつか．
実数$x$に対して，左辺を平方完成して
\begin{align*}x^2-3x+3
=\bra{x-\frac{3}{2}}^2+\frac{3}{4}
\geqq\frac{3}{4}>0\end{align*}
と０にならないことが分かるので，$x^2-3x+3=0$は実数解を持ち得ません．すなわち，２次方程式$x^2-3x+3=0$の実数解の個数は０個です．
いまの解答例のように，２次方程式を具体的に解かなくても実数解の個数を調べることができます．
この記事では
- ２次方程式の判別式
- ２次方程式の実数解の個数の具体例
- ２次方程式の虚数解
- 虚数解をもつ２次方程式の具体例
を順に解説します．
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２次方程式の判別式
冒頭の問題の考え方を一般の２次方程式$ax^2+bx+c=0$に使って，実数解の個数の調べ方を考えましょう．
２次方程式の解の公式と実数解の個数
２次方程式$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$は実数）は左辺を平方完成して解くことができました．より詳しくは
\begin{align*}&a\bra{x^2+\frac{b}{a}x}+c=0
\\&\iff a\bra{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}}-\frac{b^2}{4a}+c=0
\\&\iff a\bra{x+\frac{b}{2a}}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0
\\&\iff \bra{x+\frac{b}{2a}}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\end{align*}
と変形して，右辺が正なら両辺で平方根を考えることで解が２個得られます．
一方，実数$x$に対して左辺$\bra{x+\dfrac{b}{2a}}^2$は実数の２乗なので，右辺$\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$が負の場合には実数解$x$は存在しないことになります．また，右辺$\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$が０の場合には方程式が$\bra{x+\dfrac{b}{2a}}^2=0$となって，解は$x=-\dfrac{b}{2a}$のただひとつに限ることになります．
分母の$4a^2$は$\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$の正負には影響しないので，２次方程式$ax^2+bx+c=0$について
- $b^2-4ac>0$であれば実数解は２個
- $b^2-4ac=0$であれば実数解は１個
- $b^2-4ac<0$であれば実数解は０個
となりますね．
いまの議論は２次方程式の解の公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$で根号$\sqrt{\quad}$の中身の正負を考えているのと本質的に同じです．
２次方程式の判別式と実数解の個数
そこで，実数係数の２次方程式$ax^2+bx+c=0$の実数解の個数の判別に有用な$b^2-4ac$に次のように名前を付けます．
２次方程式$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$は実数）に対して，
\begin{align*}D=b^2-4ac\end{align*}
を２次方程式$ax^2+bx+c=0$の判別式（discriminant）という．
上で考えたことをまとめると次のようになりますね．
２次方程式$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$は実数）の判別式$D$に対して，次が成り立つ．
- $D>0\iff\text{方程式$ax^2+bx+c=0$は実数解をちょうど２個もつ}$
- $D=0\iff\text{方程式$ax^2+bx+c=0$は実数解をちょうど１個もつ（重解をもつ）}$
- $D<0\iff\text{方程式$ax^2+bx+c=0$は実数解をもたない}$
歴史的には$D=b^2-4ac$を「２次式$ax^2+bx+c$の判別式」と言っても間違いではないようです．
２次関数の放物線と$x$軸との交点の個数
２次方程式$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$は実数）の実数解の個数は，２次関数$y=ax^2+bx+c=0$と$x$軸（$y=0$）の交点の個数に一致します．そのため，２次方程式の判別式は２次関数と$x$軸の交点の個数の判定にも使えます．
２次関数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$は実数）の$xy$平面上のグラフ（放物線）$C$に対して，次が成り立つ．
- $b^2-4ac>0\iff\text{$C$と$x$軸の共有点はちょうど２個存在する}$
- $b^2-4ac=0\iff\text{$C$と$x$軸の共有点はちょうど１個存在する（$C$と$x$軸は接する）}$
- $b^2-4ac<0\iff\text{$C$と$x$軸は共有点をもたない}$
$a>0$のときは下図のようになりますね．
２次方程式の実数解の個数の具体例
いくつかの２次方程式について，実数解の個数を求めましょう．以下，２次方程式の判別式を$D$と表します．
具体例１（$x^2-2x+2=0$の実数解の個数）
$x$の２次方程式$x^2-2x+2=0$の実数解の個数を求めよ．
２次方程式$x^2-2x+2=0$の判別式$D$は
\begin{align*}D=(-2)^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4<0\end{align*}
なので，実数解の個数は０個である．
具体例２（$x^2-3x+2=0$の実数解の個数）
$x$の２次方程式$x^2-3x+2=0$の実数解の個数を求めよ．
２次方程式$x^2-3x+2=0$の判別式$D$は
\begin{align*}D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1>0\end{align*}
なので，実数解の個数は２個である．
具体例３（$-2x^2-x+1=0$の実数解の個数）
$x$の２次方程式$-2x^2-x+1=0$の実数解の個数を求めよ．
２次方程式$-2x^2-x+1=0$の判別式$D$は
\begin{align*}D=(-1)^2-4\cdot(-2)\cdot1=1+8=9>0\end{align*}
なので，実数解の個数は２個である．
具体例４（${3x^2-2\sqrt{3}x+1=0}$の実数解の個数）
$x$の２次方程式$3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$の実数解の個数を求めよ．
２次方程式$3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$の判別式$D$は
\begin{align*}D=(-2\sqrt{3})^2-4\cdot3\cdot1=12-12=0\end{align*}
なので，実数解の個数は１個である．
２次方程式の虚数解
２次方程式$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$は実数）の実数解の個数を判別式で判定できるようになりましたが，実数解を持たない判別式が負の場合にも，形式的には
\begin{align*}x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align*}
と表せるので，$\sqrt{A}$が$A<0$の場合にもうまくいくように考えたいところです．
複素数・虚数の定義
そこで，次のように２乗して負になる「数」を定めましょう．
２乗して−１になる数を虚数単位（imaginary unit）といい$i$で表す．
この定義から$i^2=-1$ということですね．実数は２乗すると必ず０以上の実数となるので，この虚数単位$i$は実数ではない「何か」ということになります．
$z=a+bi$（$a$, $b$は実数）の形の数を複素数（complex number）といい，$a$を$z$の実部（real part），$b$を$z$の虚部（imaginary part）という．また虚部が０でない複素数を虚数（imaginary number）という．
複素数$z$, $w$に対して，$z=w$であるとは
\begin{align*}(\text{$z$の実部})=(\text{$w$の実部})\quad\text{かつ}\quad(\text{$z$の虚部})=(\text{$w$の虚部})\end{align*}
が成り立つことをいう．
虚部が０の複素数$a+0i$（$a$は実数）は単に$a$と表し，実数とみなします．また，実部が０の複素数$0+bi$（$b$は実数）も同様に単に$bi$と表し，純虚数（pure imaginary number）といいます．例えば，
\begin{align*}1+3i,\quad 2-i,\quad 3,\quad 2i\end{align*}
は全て複素数で，これらのうち
- 虚数は$1+3i$, $2-i$, $2i$
- 純虚数は$2i$のみ
- 実数は３のみ
です．
$2-i$は$2+(-1)i$のことです．一般に，複素数$a-bi$（$a$ , $b$は実数）は$a+(-b)i$のことです．
複素数の四則演算
複素数の四則演算では，虚数単位$i$は（$i^2=-1$という性質をもつ）通常の文字のように扱います．例えば，
\begin{align*}&(3+i)+(2-2i)=5-i,
\\&(2i)^2=2^2i^2=4\cdot(-1)=-4,
\\&(-2i)^2=(-2)^2 i^2=4\cdot(-1)=-4,\end{align*}
と計算します．このこと（とくに２つ目と３つ目の計算例）をふまえると，
- $x$の方程式$x^2=-1$の解は$\pm i$
- $x$の方程式$x^2=-4$の解は$\pm 2i$
- $x$の方程式$x^2=-2$の解は$\pm\sqrt{2}i$
と$x^2=(\text{負の数})$の形の２次方程式は複素数を用いて解を表すことができます．
虚数解をもつ２次方程式の具体例
虚数単位を定めると$A<0$の場合の$\sqrt{A}$も虚数単位を用いて表すことができるので，実数解を持たない２次方程式の解を虚数として表すことができます．
具体例１（$x^2+1=0$の虚数解）
$x$の２次方程式$x^2+1=0$を解け．
２次方程式$x^2+1=0$の定数項を移項して，$x^2=-1$となるので，解は
\begin{align*}x=\pm i\end{align*}
である．
このようにパッと解いてもよいですし，より厳密には
\begin{align*}(x+i)(x-i)=0\end{align*}
と左辺を因数分解して$x=\pm i$と解けます．
一般に$a^2+b^2=a^2-(bi)^2=(a+bi)(a-bi)$と因数分解できます．
具体例２（$(x+1)^2+3=0$の虚数解）
$x$の２次方程式$(x+1)^2+3=0$を解け．
２次方程式$(x+1)^2+3=0$を整理して，$(x+1)^2=-3$となるので，
\begin{align*}x+1=\pm \sqrt{3}i\end{align*}
と同値である．よって，解は$x=-1\pm\sqrt{3}i$である．
具体例１と同様に，より厳密には
\begin{align*}(x+1+\sqrt{3}i)(x+1-\sqrt{3}i)=0\end{align*}
と左辺を因数分解して$x=-1\pm\sqrt{3}i$と解けます．
具体例３（$x^2+2x+2=0$の虚数解）
$x$の２次方程式$x^2+2x+2=0$を解け．
左辺は
\begin{align*}x^2+2x+2=(x+1)^2+1\end{align*}
と平方完成できるから，
\begin{align*}(x+1)^2=-1
&\iff x+1=\pm i
\\&\iff x=-1\pm i\end{align*}
と解ける．
\begin{align*}x&=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}
\\&=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}
\\&=\frac{-2\pm2i}{2}
=-1\pm i\end{align*}
と解くこともできます．
判別式と虚数解の個数
上で考えた判別式による実数解の個数の判定法の定理について，判別式が負のときは
\begin{align*}\bra{x+\frac{b}{2a}}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\end{align*}
の右辺が負ですから，虚数解を２個もつことが分かります．よって，定理はさらに次のように書き換えることができますね．
２次方程式$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$は実数）の判別式$D$に対して，次が成り立つ．
- $D>0\iff\text{方程式$ax^2+bx+c=0$は実数解をちょうど２個もつ}$
- $D=0\iff\text{方程式$ax^2+bx+c=0$は実数解をちょうど１個もつ（重解をもつ）}$
- $D<0\iff\text{方程式$ax^2+bx+c=0$は虚数解をちょうど２個もつ}$
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