場合の数の基本9|二項係数の性質とパスカルの三角形

 
 

場合の数の基本8|多項定理の考え方と公式】の続きです.

前回の記事では[多項定理]について解説しました.

この記事では,前々回の記事で解説した(a+b)^nの展開公式である[二項定理]に関して,「パスカルの三角形」について解説します.

なお,この「パスカル」は,「人間は考える葦である」で有名なBlaise Pascalのことです.

【参考記事:場合の数の基本7|二項定理の考え方と公式

[二項定理]は単に(a+b)^nがどう展開されるのかということを表す定理です.「パスカルの三角形」は(a+b)^nの展開と(a+b)^{n-1}の間の関係を表すもので,[二項定理]と併せて非常に便利です.

[二項定理]の記事ではせっせと二項係数{}_{n}\mrm{C}_{r}を計算しましたが,「パスカルの三角形」を使えば二項係数{}_{n}\mrm{C}_{r}は簡単に求まります.

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場合の数の基本8|多項定理の考え方と公式

 
 

場合の数の基本7|二項定理の考え方と公式】の続きです.

前回の記事では[二項定理]について解説しました.

[二項定理]は(a+b)^nの展開公式で,場合の数を用いて導出するのでした.

また,[二項定理]の拡張として(a_1+a_2+\dots+a_k)^nの展開公式である[多項定理]があります.そして,[多項定理]も[二項定理]と同じく,場合の数を用いて導出することができます.

考え方も[二項定理]とほとんど同じですが,これまでに見てきた場合の数を理解できていなければ難しいでしょう.その意味で,[多項定理]を理解できていることは,一定の理解がある証拠でもあります.

この記事では,[多項定理]について解説します.

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場合の数の基本7|二項定理の考え方と公式

 
 

場合の数の基本6|重複組み合わせの考え方と公式】の続きです.

これまでの記事で,色々な場合の数をみてきました.

高校数学において,「場合の数」はそのあとに習う「確率」を考えるために習うといった印象があります.「場合の数」が高校数学からさらに発展した数学として「組み合わせ論」という分野もあります.

このように,「場合の数」はそれ単体で完結しているわけではなく,様々な応用があるのです.

その最も身近な応用として[二項定理]が挙げられます.[二項定理]は式の展開公式の一つであり,式の計算をする際に非常に重要です.

この記事では,[二項定理]について解説します.

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場合の数の基本6|重複組み合わせの考え方と公式

 
 

場合の数の基本5|同じものを含む順列の考え方と公式】の続きです.

前回の記事で「同じものを含む順列」について書きました.

その際,重複の処理について詳しく説明しました.この記事で解説する「重複組み合わせ」も重複の処理の仕方がキーになります.

たとえば「赤色,青色,白色の3種類のボールから,全部で9個選ぶこと」を重複組み合わせといいます.

このとき,よくある問題設定として「選ばれない色のボールがあっても良い」とする問題と,「選ばれないボールがあってはならない」とする問題があります.この両者で問題の考え方が異なるので,分からなくなってしまう人が多いようです.

この記事では,この両者の違いについて考えます.

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場合の数の基本5|同じものを含む順列の考え方と公式

 
 

場合の数の基本4|円順列と数珠順列の考え方と公式】の続きです.

前回の記事では,「円順列」と「数珠順列」について書きました.

これまでもそうでしたが,場合の数を考える際には「重複をどのように考えるか」ということがキーポイントになります.前回の記事で説明した「円順列」と「数珠順列」も「重複をどのように考えるか」ということがネックになっていました.

重複の考え方が大切なものは,ほかに「同じものを含む順列」と「重複組み合わせ」があります.

これらはどちらも一つの壁のようで,ここで分からなくなる人がとても多いように思います.

この「場合の数」の一連の記事の最初にも書いたことですが,「場合の数」や「確率」では「あくまで数え上げたいだけ」ということは常に意識しておいてください.

しかし,当然のことながら,場合の数が多くなると書き並べて求めるのが難しくなります.その場合に公式を使うのです.

最初から公式を使おうとしていると,何をやっているのか分からなくなってしまいますから,しっかり考え方を理解して問題に取り組むようにしてください.

「重複組み合わせ」は次の記事で書くことにし,この記事では「同じものを含む順列」について詳しく説明します.

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場合の数の基本4|円順列と数珠順列の考え方と公式

 
 

場合の数の基本3|組み合わせの考え方と公式】の続きです.

前々回の記事では「順列」の基本,前回の記事では「組み合わせ」の基本について説明しました.

この記事では,前々回と関連して「円順列」「数珠順列」と言われる種類の順列について説明します.

そもそも「順列」とは,「いくつかのものを並べること」をいうのでした.単に「順列」といえば,普通は「一列にいくつかのものを並べる」ということを指すことが多いです.

しかし,当然のことながら,ものを並べる際には一列ではなく円状に並べることもできます.そういった,「普通でない順列」の場合の数の例として,「円順列」「数珠順列」があります.

「円順列」「数珠順列」も公式を丸覚えするのではなく,考え方から当たり前に思えるようにしてください.

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場合の数の基本3|組み合わせの考え方と公式

 
 

場合の数の基本2|順列の考え方と公式】の続きです.

前回の記事では,「順列」について説明しました.

「順列」は「n個ある中から,r個選んで並べること」をいうのでした.そして,この場合の数を{}_{n}P_{r}で表すのでした.

この記事では,「組み合わせ」について説明します.

「組み合わせ」とは,「n個ある中から,r個選ぶこと」をいいます.つまり,「順列」と違って並べることはしないのです.

「組み合わせ」と「順列」は似ているといえば似ていますが,明確に違うのでその違いをきっちり押さえてください.

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