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ベクトル3|ベクトルの[内積]の基本性質の総まとめ

前回の記事では,内積を定義すると|\ve{a}+\ve{b}|^2(a+b)^2と同じように展開することができて,とても便利なことを説明しました.

この記事では,前回の記事では説明しなかった内積が満たす性質を説明します.

ベクトル\ve{a}, \ve{b}について,内積\ve{a}\cdot\ve{b}が分かれば,\ve{a}\ve{b}のなす角が鋭角か直角か鈍角かが分かります.

また,内積は計算もしやすく

  • 交換法則
  • 分配法則

を満たすため,普通の掛け算のように扱えることも多いです.

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ベクトル2|ベクトルの[内積]は何がどう便利なのか?

前回の記事では,ベクトルの基本の考え方と

  • 実数をベクトルにかける
  • ベクトルとベクトルの和,差をとる

というベクトルの計算の基本について説明しました.

この記事では,ベクトルの計算のうちでも重要な「ベクトルとベクトルをかける」ということに相当する内積について説明します.

ベクトルの内積をいきなり定義しても,なかなかなぜそのように定義すると良いのかピンとこないことがほとんどです.

そこで,この記事ではどうして内積というものを定義すると嬉しいのかというところから順を追って説明します.

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ベクトル1|「ベクトル」ってなに?ゼロから考え方を説明

ベクトル (vector)は図形的な要素を含むため図形が苦手な人がそのままベクトルも苦手になってしまう傾向にあります.

しかし,実はベクトルはそれほど深く図形的な考察をしなくても計算すれば解ける便利な道具です.

実際,図形の問題にベクトルに持ち込んで機械的に計算すれば解けることも多く,図形が苦手な人ほどベクトルをしっかり学びたいところです.

また,ベクトルの基礎事項はそれほど多くなく,それらを繰り返し使っていくだけなので,実はコストパフォーマンスの良い分野でもあります.

なお,高校物理ではベクトルは気持ち程度にしか扱いませんが,大学以上の物理ではベクトルを積極的に使って話を進めていきます.

そのため,とくに理系の人はしっかりベクトルをさっと扱えるようにしておくことはとても大切です.

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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問6

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 正しく図形を捉えられるか
  2. 断面積から積分の立式・計算ができるか

です.

与えられた式は少々複雑で不気味ですが,断面積を求めて積分するというセオリー通りの問題なので,是非とも解きたい問題ですね.

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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問5

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問5」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 積の法則を利用できるか
  2. それぞれのパターンの場合の数を調べられるか

です.

場合の数/確率らしく,どのようなパターンがあるかを網羅すれば解けます.

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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問4

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 問題の意味を解釈できるか
  2. 最後まで計算を完遂できるか

です.

京都大学では実際に実験するなどし,様子を掴んで解く問題がよく出題されています.本問はその類題と言え,地道に計算で解ける本問は確実に正解しておきたい問題です.

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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問3

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問3」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 条件式から図形の対称性を見極められるか
  2. 適切に座標上におけるか

です.

普段から,このような問題で実験する習慣が身についていれば,方針を立てることはさほど難しくないでしょう.

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