微分の基本3|多項式の導関数と,導関数の性質

微分の基本2|導関数の定義と直感的イメージ】の続きです.

関数y=f(x)の導関数f'(x)とは,各xf(x)の微分係数を表す関数のことをいうのでした.

導関数を定義して次に考えることは,導関数に関する性質でしょう.

この記事では,「多項式の導関数」と「導関数の性質」について説明します.

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微分の基本2|導関数の定義と直感的イメージ

微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義】の続きです.

関数y=f(x)x=aでの微分係数は,y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))を通る直線の平均変化率の極限として定義され,f'(a)と表すのでした.

すなわち,式で書けば,

f'(a)=\li_{h\to 0}\f{f(a+h)-f(a)}{h} \bra{=\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}}

で定義されるのでした.

さて,この記事では微分係数から自然に定義される導関数の基本と,導関数の性質について説明します.

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微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義

放物線(2次関数)y=f(x)と直線(1次関数)y=g(x)が接するかどうかといった問題は,判別式Dを用いてD=0となるのかどうかを調べるのがよくある方法です.

つまり,この問題は「放物線」と「直線」が与えられていて,それらが接するかどうかの判定です.

さて,これから解説する「微分」を用いると,「放物線」と「放物線上の点\mrm{A}」が与えられれば,点\mrm{A}での放物線の「接線」を求めることができます.

「微分」は非常に汎用性が高く,放物線だけでなく,そのほか多くの関数に対しても接線を求めることができます.

この記事では,「微分」の初歩として,「微分係数」について説明します.

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4つの「化学の基本法則」|「原子説」と「分子説」の周辺

18世紀後半ごろから,実験などによって[質量保存の法則],[定比比例の法則],[倍数比例の法則],[気体反応の法則]など,実験によって様々な「化学の基本法則」が発見されてきました.

基本法則というだけあって,これらの法則は今日でも頻繁に用いられ,これらなしで現在の化学を語ることはもはや不可能となっています.

さて,「物質はどこまでも分割できるのか,それ以上分割できない最小粒子からできているのか」といった議論は古来よりなされてきました.

この疑問の答えとして[原子説]や[分子説]が現れました.その契機となったのが,上に挙げたような「化学の基本法則」の発見でした.

この記事では,「化学の基本法則」と[原子説],[分子説]についてまとめます.

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浮力の基本|浮力を正しく理解する

湯船やプールに浸かると体が軽くなりますし,水に木片を入れると木片が水に浮きます.また,ヘリコプターはプロペラを回すことで宙に浮きます.
このように,流体(液体や気体)が物体を「浮かせる力」のこと「浮力」と言います.

物体が完全に沈んでいる場合でも,水面に浮かんでいる場合でも,「浮力」がどういうものかを知っていれば,どちらも同じ考え方で「浮力」の大きさを求めることができます.

「浮力」は苦手に思われることも多いですが,考え方さえ分かってしまえば全く難しいものではありません.

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弾性力の基本|フックの法則は怖くない

当然,バネは置いておくだけでは,静止して何のアクションも起こしません.しかし,バネは縮められると伸びようとしますし,伸ばされると縮もうとします.

このことは,「変形させられた物体が,元の形に戻ろうとして力がはたらく」ということができます.

この力のことを「弾性力」といいます.「弾性力」は形状記憶とも言えますね.形状記憶メガネはグニグニ曲げても元の形に戻ります.そのようなイメージがあれば良いでしょう.

さて,「弾性力」の大きさを知りたいときは[フックの法則]を用います.「フックの法則」と聞くと苦手意識がはたらく人も多いと思いますが,難しくないのでこの記事でパッと身につけてください.

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張力の基本|滑車があっても怖くない

張力は教科書でもあまり大きな扱われ方をしませんが,高校物理では頻出ですからきっちり抑えておく必要があります.

張力がはたらく場合で迷う人が多いのは,滑車が関わってくる場合です.しかし,滑車が関わってくる場合でも,張力のはたらき方はいたってシンプルです.

張力自体は全く複雑ではありません.張力のはたらき方をこの記事でしっかり押さえてください.

なお,張力を求めるためには「力のつりあい」や「運動方程式」を用いることが多いので,そちらもきっちり押さえておいてください.

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