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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問4

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 問題の意味を解釈できるか
  2. 最後まで計算を完遂できるか

です.

京都大学では実際に実験するなどし,様子を掴んで解く問題がよく出題されています.本問はその類題と言え,地道に計算で解ける本問は確実に正解しておきたい問題です.

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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問3

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問3」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 条件式から図形の対称性を見極められるか
  2. 適切に座標上におけるか

です.

普段から,このような問題で実験する習慣が身についていれば,方針を立てることはさほど難しくないでしょう.

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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問2

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 数学的帰納法の発想から$\alpha^n+\beta^n$をうまく変形できるか
  2. $\sin$の極限の公式を適用できる形に持っていけるか

です.

(1)の数学的帰納法はすぐに思い付きたいところで,(2)は$\sin$の極限の公式を使いそうだとは瞬時に思いたいところです.

いずれにしても,慣れていないと式変形は思い付きにくいかもしれません.

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解答例と考え方|2020年度|京都大学|理系数学問1

この記事では,2020年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問1」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,問1は

  • $n$次方程式の虚数解の性質を適用できるか
  • 複素平面上の正三角形を正しく捉えられるか

です.

複素共役や極形式など,複素平面上の考え方に慣れておかないと少し手こずるかもしれません.

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複素数7|複素平面上の拡大縮小/回転は複素数をかけろ!

2つの複素数$z$, $w$について,

  • $z$の絶対値は$r$,偏角は$\theta$
  • $w$の絶対値は$s$,偏角は$\phi$

とすると,

  • 積$zw$の絶対値は$rs$
  • 積$zw$の偏角は$\theta+\phi$

となるのでした.

この[極形式の積]の公式の見方を少し変えることによって,複素平面上の[拡大縮小/回転]を考えることができます.

この記事では,複素平面上の

  • 点の[拡大縮小/回転]
  • ベクトルの[拡大縮小/回転]

について説明します.

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複素数6|虚数解をもつ方程式の重要ポイント2つを確認!

そもそも高校数学で複素数が現れたのは,2次方程式の実数でない解を表すためでした.

実数は2乗すると必ず0以上となるため,$x$が実数なら$x^2+1=0$の左辺は1以上となりこの等式は成り立ち得ません.

そこで,$x$の方程式$x^2+1=0$の解を$i$と表し,これを虚数単位というのでした.

このことからも予想できるように,複素数は$n$次方程式と密接な関係があります.

前回の記事までで説明した複素数の基本性質を用いて,この記事では

  • 虚数解をもつ$n$次方程式
  • 1の3乗根$\omega$

について説明します.

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複素数5|方程式の[ド・モアブルの定理]の解法は3ステップ

前回の記事では,複素数を極形式に変形すると,複素数の積や商を簡単に計算できることを説明しました.

その結果として,複素数の指数計算が簡単にできる[ド・モアブルの定理]が成り立つのでした.

このように,複素数は指数計算に強いことは意識しておいて欲しいポイントです.

[ド・モアブルの定理]を用いると,$x^4=1-\sqrt{3}$のような$x^n=c$型の方程式を解くことができます.

この記事では,この$x^n=c$型の方程式の解き方を説明します.

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