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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問5

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問5」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 何を変数とおくか
  2. 体積を正しく立式できるか

です.

適当に変数をおけば体積を表すことができ,あとは導関数を求めて増減を調べれば終わりです.基本的な問題で,瞬殺したいところです.

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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問4

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 条件を満たすX_1,X_2,\dots,X_nにはどのようなパターンがあるか
  2. 和の立式,等比数列の和の計算を正しく行えるか

です.

「場合の数」と「確率」では,どのようなパターンがあるかを「もれなく」「重複なく」把握することが第一歩で,それらの場合の数/確率を足し合わせれば答えが得られます.

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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問3

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問3」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 図形を適切に座標上におけるか
  2. 媒介変数の積分を計算できるか

です.

「ベクトル」と「図形と方程式」は相性がよいことを意識していれば思い付ける自然な解法で解けます.また,媒介変数表示の積分もしっかり計算できるようになっておいてください.

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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問2

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 具体的なnで実験して性質に気付けるか
  2. 実験して気付いた規則性を証明できるか

です.

普段から,このような問題で実験する習慣が身についていれば,方針を立てることはさほど難しくないでしょう.

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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問1

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問1」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,問1は

  1. [2倍角の定理],[3倍角の定理]を使えるか
  2. 無理数と有理数の扱いができるか

で,問2は

  1. [部分積分の公式]を使えるか
  2. 部分分数分解からの積分ができるか

です.

どちらもそれほど難しい問題ではないので,しっかり解き切りたい問題です.

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三角関数8|Asinθ+Bcosθの形は三角関数の合成!

前回の記事で三角関数の加法定理について説明しました.

さて,三角関数の加法定理を用いることで,A\sin{\theta}+B\cos{\theta}の形の式は

  • C\sin{(\theta+\alpha)}
  • C\cos{(\theta-\alpha)}

のように,1つの三角関数にまとめて表すことができます.

このように,A\sin{\theta}+B\cos{\theta}の形の式を1つの三角関数をまとめて表すことを[三角関数の合成]といいます.

多くの人は「三角関数の合成」と聞くと,C\sin{(\theta+\alpha)}\sinでまとめる方を思い浮かべますが,C\cos{(\theta+\alpha)}でまとめないと解けない問題もありますから,両方ともできるようになってください.

といっても,考え方はどちらも同じなので,単に丸覚えするのではなく考え方から身に付けてください.

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三角関数7|三角関数の加法定理の周辺を総まとめ

三角関数の加法定理とは

  • \sin{(\alpha+\beta)}
  • \sin{(\alpha-\beta)}
  • \cos{(\alpha+\beta)}
  • \cos{(\alpha-\beta)}

\sin{\alpha}, \cos{\alpha}, \sin{\beta}, \cos{\beta}で表す4つの公式と

  • \tan{(\alpha+\beta)}
  • \tan{(\alpha-\beta)}

\tan{\alpha}, \tan{\beta}で表す2つの公式のことをいいます.また,加法定理を使えば,

  • 2倍角の公式
  • 3倍角の公式
  • 半角の公式
  • 積和の公式
  • 和積の公式

を簡単に導くことができるので,三角関数に関する多くの公式の中でも加法定理は中心的な存在といえます.

この記事では,加法定理を説明したのち,加法定理から導かれる公式をまとめます.

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