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複素数4|複素数の指数計算は[ド・モアブルの定理]が鉄板

極形式は「原点からの距離」と「偏角」を用いて複素数を表す方法で,前回の記事では複素数の極形式の定義と極形式の例を考えました.

極形式の良いところは積や商の計算が簡単にできる点で,特に複素数の指数計算については[ド・モアブルの定理]と呼ばれる非常に便利な定理があります.

[ド・モアブルの定理]を用いれば,$(1-i)^5$のような指数計算も慣れれば数秒で求めることができます.

この記事では,極形式の計算に関する基本的な性質を説明し,ド・モアブルの定理を例を用いて説明します.

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複素数3|複素数の「極形式」は絶対値と偏角がポイント!

複素数は$a+bi$ ($a$, $b$は実数,$i$は虚数単位)として表される数のことをいうのでした.

この$a+bi$という書き方は実部が$a$で虚部が$b$というシンプルな表現で和や差を考える際には便利ですが,積や商を求める際には$a+bi$の表現では和や差のように単純に計算はできませんでした.

そこで,複素数を「極形式」という表し方をすると,複素数の積や商を簡単に計算することができます.

とくに$(a+bi)^n$など複素数の指数を計算しようとすると計算は非常に面倒ですが,極形式の指数計算は非常に簡単で瞬時に答えが求まります.

この極形式の指数計算に関する定理を[ド・モアブルの定理]といいます.

この[ド・モアブルの定理]の説明は次の記事に回すとして,この記事では極形式の基本を具体例を用いて説明します.

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複素数2|複素数を見る!?複素平面と絶対値の考え方

前回の記事では,

  • 2乗して$-1$になる虚数単位$i$
  • $a$, $b$を用いて,$a+bi$と表される複素数

を定義しましたが,これだと直感的なイメージがわきにくいですね.

実は,複素数は平面上の点として表すことで,視覚的に理解できる「複素平面」というものがあります.

複素平面を考えて複素数を直感的に理解することで,複素数を使って様々なことができるようになります.

この記事では,複素平面の考え方を説明します.

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複素数1|虚数単位って一体なに?複素数の考え方と基礎知識

数学IIで2次方程式を解くためにちょこっと登場した複素数ですが,数学IIIではこの複素数が1つの大きな分野として登場します.

「複素数は存在しない数だ」という説明をする人もいますが,複素数は図示して「見る」ことができるので,一度イメージが分かってしまえば直感的に考えることができます.

しかし,複素数は現代科学ではなくてはならないものであり,たとえば身の回りのあらゆる電子機器は複素数の理論なくして作ることができないといって良いでしょう.

このように,複素数は存在しないどころか,非常に重要な役割を役割を担っています.

大学受験の先を見据えれば,複素数は大学以上の物理や数学では当たり前のように登場しますから,理系ならばしっかり扱えるようになっておきたい分野です.

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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問6

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問6」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 複素数の$n$乗を計算できるか
  2. 必要条件から求めるという発想ができるか

です.

必要な知識は基本的なものばかりですが,必要条件から求める$n$がどのあたりか「アタリ」をつけて泥臭く考える問題なので,試験場では敬遠しがちな問題かもしれません.

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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問5

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問5」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 何を変数とおくか
  2. 体積を正しく立式できるか

です.

適当に変数をおけば体積を表すことができ,あとは導関数を求めて増減を調べれば終わりです.基本的な問題で,瞬殺したいところです.

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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問4

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問4」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 条件を満たす$X_1,X_2,\dots,X_n$にはどのようなパターンがあるか
  2. 和の立式,等比数列の和の計算を正しく行えるか

です.

「場合の数」と「確率」では,どのようなパターンがあるかを「もれなく」「重複なく」把握することが第一歩で,それらの場合の数/確率を足し合わせれば答えが得られます.

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