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三角関数6|三角関数の方程式や不等式は,点をグルグル回せ!

例えば,

  • 2\cos{\theta}=-\sqrt{3} (0\leqq\theta\leqq2\pi)
  • \tan{(\theta-\pi)}>\sqrt{3} (0<\theta<\pi)

のような三角関数に関する方程式,不等式は必ず解けるようになっておく必要があります.

  • 前々回の記事で有名角の三角関数の値の考え方
  • 前回の記事で三角関数のグラフ

について説明しました.

これらはいずれも,\sin{\theta}, \cos{\theta}の定義と,\tan{\theta}の性質を意識すれば,すぐに解けるのでした.

この記事で説明する「三角関数の方程式と不等式」も同様に,\sin{\theta}, \cos{\theta}の定義と,\tan{\theta}の性質を意識することで解くことができます.

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三角関数5|三角関数のグラフは縦や横から見るべし!

xy平面上の単位円周上の点Pの偏角が\thetaであるとき,点Pの x 座標を\cos{\theta},点Pの y 座標を\sin{\theta}と定義するのでした.

さらに,単位円の点(1,0)での接線と直線OPの交点の y 座標が\tan{\theta}となるのでした.

前回の記事では,単位円上の点が1周する間に,三角関数\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}がどのように増減するのかを考えました.

このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば,

  • \sin{\theta}のグラフ
  • \cos{\theta}のグラフ
  • \tan{\theta}のグラフ

を描くことができます.

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三角関数4|有名角の三角関数は覚えるな!図で判断するコツ

前回の記事では,小学校から使ってきた角度の表し方である「度数法」に代わって,数学的に都合の良い角度の表し方である「弧度法」を考えました.

「弧度法」は「○○ラジアン」という角度の表し方をするもので,半径1の扇形においては「(中心角)[\mrm{rad}]=(弧の長さ)」が成り立つのでした.

今回の記事では,具体的にラジアンを用いて有名角の三角関数の値を考えていきます.

有名角の三角関数の値はサラサラと書けるようになっておかなければなりませんが,丸覚えしているようではいつミスが起こってもおかしくありません.

しっかり図をイメージして値がどうなるか理解しておいてください.

この記事では,0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circでない一般の\thetaに対して,有名角の\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}の値の考え方を説明します.

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三角関数3|「ラジアン」の考え方,公式はシンプル!

小学校以来,我々は30^\circのように「〜度」という単位で角度を表してきました.

この「〜度」という角度の表し方を「度数法」といいますが,度数法では三角関数のグラフを描くときなどに不都合があります.

そこで,より数学的に扱いやすい角度の単位として「弧度法」があります.

弧度法は度数法よりも都合が良いことが多く,例えば「扇型の面積」などの計算が簡単にできます.

この記事では,

  • 「弧度法」の定義
  • 弧度法に関する大切な公式

を説明します.

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三角関数2|偏角の変換公式は覚えるな!簡単に導く方法!

以前の記事で三角比の場合には,

  • \sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}
  • \cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}
  • \tan{(90^\circ-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}

が成り立つことを説明しましたが,この三角比の角度の変換公式は三角関数でも同様に成り立ちます.

ただ,三角関数になると,他にも\tan{(180^\circ+\theta)}\sin{(90^\circ+\theta)}などの変換公式も出てきます.

これらの公式は非常に多いため,全部を覚えようとすると挫折してしまいます.

というより,これらの公式は丸覚えするようなものではありませんし,コツさえつかめばほんの数秒で導くことができます.

しかし,実は分かりやすい公式をほんの少し覚えるだけで,他の偏角の変換公式は全て導けるようになっています.

今回の記事では,偏角の変換公式をできるだけ覚えずに導けるようになる方法も説明します.

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三角関数1|三角関数/三角比の違いは?三角関数を定義しよう!

直角三角形の1つの鋭角を\thetaとしたとき,3種類の辺の比を\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}と名付けたものを三角比というのでした.

このように,三角形の内角の和は常に180^\circだったので,直角三角形の1つの鋭角\theta0^{\circ}<\theta<90^{\circ}の範囲しか動きません.

したがって,直角三角形を考えていたのでは,例えば

  • \sin{120^\circ}のような90^\circを超える\theta
  • \sin{-30^\circ}のような負の\theta

\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を考えることができません.

そこで,実数\theta0^\circ<\theta<90^{\circ}の範囲にない場合にも,\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}をうまく定義できないか」と以前の記事で0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circの場合の\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}の考え方を説明しました.

この記事では,さらに広く全ての実数\thetaに対して\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を定義します.

このように,全ての実数\thetaに対して定義された\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を三角関数といいます.

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三角比7|【余弦定理】は「三平方の定理」の進化版!

三角形に関する三角比の定理として重要なものに

  • 正弦定理
  • 余弦定理

があります.[正弦定理]は前回の記事で説明しました.

[余弦定理]は直角三角形で成り立つ[三平方の定理]の拡張パックで,これがどういうことか分かれば,そう苦労なく余弦定理の公式を覚えることができます.

また,[余弦定理]には実は

  • 第1余弦定理
  • 第2余弦定理

の2種類があり,いま述べた[三平方の定理]の進化版なのは第2余弦定理の方です.

この記事では,第2余弦定理を中心に[余弦定理]について解説します.

第2余弦定理

単に「余弦定理」といえば,普通はこの第2余弦定理を指します.

三平方の定理

第2余弦定理を説明する前に,三平方の定理を簡単に復習しておきましょう.

[三平方の定理] \ang{B}=90^\circ\tri{ABC}について,以下が成り立つ.

    \begin{align*} \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2 \end{align*}

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三平方の定理はその名の通り,3辺の平方(2乗)の関係式のことでした.

なお,三平方の定理は別名「ピタゴラス(Pythagoras)の定理」ともいいますね.

余弦定理の考え方

三平方の定理は直角三角形にのみ使える定理で,直角三角形でなければ三平方の定理は途端に使えなくなります.

そこで,\ang{B}が直角でないときに,どのようになるのかを述べた定理が第2余弦定理です.

[(第2)余弦定理] \ang{B}=\theta\tri{ABC}について,以下が成り立つ.

    \begin{align*} \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta} \end{align*}

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さて,

  • 三平方の定理(\ang{B}=90^\circ)の場合
  • 余弦定理(\ang{B}=\theta)の場合

を比べると,

  • \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2
  • \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}

ですから,余弦定理の場合には-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}の項が三平方の定理に付け加えられているだけですね.

つまり,\ang{B}90^\circから\thetaにズレると,-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}分だけ右辺がズレるというわけです.

こう考えると,パッと見ではややこしそうに見えますが,三平方の定理に一つ項を加えるだけですから,それほど難なく覚えることができますね.

なお,ベクトルを学ぶと内積とも関連付けて考えることができて,さらに覚えやすくなりますが,ここでは割愛します.

余弦定理は三平方の定理の拡張であり,\ang{B}90^\circから\thetaになったとき\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2の右辺が-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}だけ変化する.

余弦定理の例

証明は後回しにして,余弦定理を具体的に使ってみましょう.

例1

\mrm{AB}=3, \mrm{BC}=2, \mrm{CA}=\sqrt{7}\tri{ABC}を考えます.

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余弦定理より,

    \begin{align*} &\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\ang{B}} \\\iff& 7=9+4-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{\ang{B}} \\\iff& 12\cos{\ang{B}}=6 \\\iff& \cos{\ang{B}}=\frac{1}{2} \\\iff& \ang{B}=60^\circ \end{align*}

と分かります.

例2

\mrm{AB}=2, \mrm{BC}=3, \ang{B}=120^\circ\tri{ABC}を考えます.

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余弦定理より,

    \begin{align*} &\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\ang{B}} \\\iff& \mrm{CA}^2=4+9-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{120^\circ} \\\iff& \mrm{CA}^2=19 \\\iff& \mrm{CA}=\sqrt{19} \end{align*}

と分かります.

3辺の長さと1つの内角が絡む場合に,余弦定理を用いることができる.

余弦定理の証明

それでは余弦定理\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}

  • \ang{A}\ang{B}がともに鋭角の場合
  • \ang{A}が鈍角の場合
  • \ang{B}が鈍角の場合

に分けて証明しましょう.

[1] \ang{A}\ang{B}がともに鋭角の場合

頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足をHとします.

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\tri{HBC}において,

  • \mrm{BH}=\mrm{BC}\cos{\theta}
  • \mrm{CH}=\mrm{BC}\sin{\theta}

である.よって,\tri{AHC}で三平方の定理より,

    \begin{align*} \mrm{CA}^2 =&\mrm{AH}^2+\mrm{HC}^2 \\=&(\mrm{AB}-\mrm{BH})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{AB}-\mrm{BC}\cos{\theta})^2+(\mrm{BC}\sin{\theta})^2 \\=&(\mrm{AB}^2-2\times\mrm{AB}\times\mrm{BC}\cos{\theta}+\mrm{BC}^2\cos^2{\theta})+\mrm{BC}^2\sin^2{\theta} \\=&\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})-2\times\mrm{AB}\times\mrm{BC}\cos{\theta} \\=&\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\times\mrm{AB}\times\mrm{BC}\cos{\theta} \end{align*}

となって,余弦定理が従います.

[2] \ang{A}が鈍角の場合

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとします.

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\tri{HBC}において,

  • \mrm{BH}=\mrm{BC}\cos{(180^\circ-\theta)}=-\mrm{BC}\cos{\theta}
  • \mrm{CH}=\mrm{BC}\sin{\theta}

である.なお,BHに関して,180^\circ-\theta形の変換公式は以下の記事を参照してください.

よって,\tri{AHC}で三平方の定理より,

    \begin{align*} \mrm{CA}^2 =&\mrm{AH}^2+\mrm{HC}^2 \\=&(\mrm{BH}-\mrm{AB})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{BC}\cos{\theta}-\mrm{AB})^2+(\mrm{BC}\sin{\theta})^2 \end{align*}

となって,あとは[1]と同様に余弦定理が従います.

[3] \ang{B}が鈍角の場合

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとします.

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\tri{HBC}において,

  • \mrm{BH}=\mrm{BC}\cos{(180^\circ-\theta)}=-\mrm{BC}\cos{\theta}
  • \mrm{CH}=\mrm{BC}\sin{(180^\circ-\theta)}=\mrm{BC}\sin{\theta}

である.よって,\tri{AHC}で三平方の定理より,

    \begin{align*} \mrm{CA}^2 =&\mrm{AH}^2+\mrm{HC}^2 \\=&(\mrm{AB}+\mrm{BH})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{AB}-\mrm{BC}\cos{\theta})^2+(\mrm{BC}\sin{\theta})^2 \end{align*}

となって,あとは[1]と同様に余弦定理が従います.

第1余弦定理

それでは,第1余弦定理の説明に移ります.

[第1余弦定理] \tri{ABC}について,以下が成り立つ.

    \begin{align*} \mrm{AB}=\mrm{CA}\cos{\ang{A}}+\mrm{CB}\cos{\ang{B}} \end{align*}

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\ang{A}\ang{B}がともに鋭角の場合には,頂点Cから辺ABに下ろした垂線をHとすれば,

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  • \mrm{AH}=\mrm{CA}\cos{\ang{A}}
  • \mrm{BH}=\mrm{CB}\cos{\ang{B}}

なので,

    \begin{align*} \mrm{AB} =&\mrm{AH}+\mrm{BH} \\=&\mrm{CA}\cos{\ang{A}}+\mrm{CB}\cos{\ang{B}} \end{align*}

となって,第1余弦定理が成り立つことは簡単に分かりますね.

また,\ang{A}が鈍角の場合には,頂点Cから辺ABに下ろした垂線をHとすれば,

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  • \mrm{AH}=\mrm{CA}\cos{(180^\circ-\ang{A})}=-\mrm{CA}\cos{\ang{A}}
  • \mrm{BH}=\mrm{CB}\cos{\ang{B}}

なので,

    \begin{align*} \mrm{AB} =&\mrm{BH}-\mrm{AH} \\=&\mrm{CB}\cos{\ang{B}}-(-\mrm{CA}\cos{\ang{A}}) \\=&\mrm{CA}\cos{\ang{A}}+\mrm{CB}\cos{\ang{B}} \end{align*}

となって,この場合にも第1余弦定理が成り立つことが分かりますね.

また,AとBは対称なので,\ang{B}が鈍角の場合にも同様に成り立ちます.

第1余弦定理は\ang{A}\ang{B}がともに鋭角である場合に成り立つことはすぐに分かるので,覚える場合のは難しくない.

三角比の次は三角関数を学びましょう.


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