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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問3

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問3」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 図形を適切に座標上におけるか
  2. 媒介変数の積分を計算できるか

です.

「ベクトル」と「図形と方程式」は相性がよいことを意識していれば思い付ける自然な解法で解けます.また,媒介変数表示の積分もしっかり計算できるようになっておいてください.

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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問2

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問2」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 具体的な$n$で実験して性質に気付けるか
  2. 実験して気付いた規則性を証明できるか

です.

普段から,このような問題で実験する習慣が身についていれば,方針を立てることはさほど難しくないでしょう.

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解答例と考え方|2019年度|京都大学|理系数学問1

この記事では,2019年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問1」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,問1は

  1. [2倍角の定理],[3倍角の定理]を使えるか
  2. 無理数と有理数の扱いができるか

で,問2は

  1. [部分積分の公式]を使えるか
  2. 部分分数分解からの積分ができるか

です.

どちらもそれほど難しい問題ではないので,しっかり解き切りたい問題です.

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三角関数8|Asinθ+Bcosθの形は三角関数の合成!

前回の記事で三角関数の加法定理について説明しました.

さて,三角関数の加法定理を用いることで,$A\sin{\theta}+B\cos{\theta}$の形の式は

  • $C\sin{(\theta+\alpha)}$
  • $C\cos{(\theta-\alpha)}$

のように,1つの三角関数にまとめて表すことができます.

このように,$A\sin{\theta}+B\cos{\theta}$の形の式を1つの三角関数をまとめて表すことを[三角関数の合成]といいます.

多くの人は「三角関数の合成」と聞くと,$C\sin{(\theta+\alpha)}$と$\sin$でまとめる方を思い浮かべますが,$C\cos{(\theta+\alpha)}$でまとめないと解けない問題もありますから,両方ともできるようになってください.

といっても,考え方はどちらも同じなので,単に丸覚えするのではなく考え方から身に付けてください.

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三角関数7|三角関数の加法定理の周辺を総まとめ

三角関数の加法定理とは

  • $\sin{(\alpha+\beta)}$
  • $\sin{(\alpha-\beta)}$
  • $\cos{(\alpha+\beta)}$
  • $\cos{(\alpha-\beta)}$

を$\sin{\alpha}$, $\cos{\alpha}$, $\sin{\beta}$, $\cos{\beta}$で表す4つの公式と

  • $\tan{(\alpha+\beta)}$
  • $\tan{(\alpha-\beta)}$

を$\tan{\alpha}$, $\tan{\beta}$で表す2つの公式のことをいいます.また,加法定理を使えば,

  • 2倍角の公式
  • 3倍角の公式
  • 半角の公式
  • 積和の公式
  • 和積の公式

を簡単に導くことができるので,三角関数に関する多くの公式の中でも加法定理は中心的な存在といえます.

この記事では,加法定理を説明したのち,加法定理から導かれる公式をまとめます.

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三角関数6|三角関数の方程式や不等式は,点をグルグル回せ!

例えば,

  • $2\cos{\theta}=-\sqrt{3}$ $(0\leqq\theta\leqq2\pi)$
  • $\tan{(\theta-\pi)}>\sqrt{3}$ $(0<\theta<\pi)$

のような三角関数に関する方程式,不等式は必ず解けるようになっておく必要があります.

  • 前々回の記事で有名角の三角関数の値の考え方
  • 前回の記事で三角関数のグラフ

について説明しました.

これらはいずれも,$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$の定義と,$\tan{\theta}$の性質を意識すれば,すぐに解けるのでした.

この記事で説明する「三角関数の方程式と不等式」も同様に,$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$の定義と,$\tan{\theta}$の性質を意識することで解くことができます.

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三角関数5|三角関数のグラフは縦や横から見るべし!

$xy$平面上の単位円周上の点Pの偏角が$\theta$であるとき,点Pの$x$座標を$\cos{\theta}$,点Pの$y$座標を$\sin{\theta}$と定義するのでした.

さらに,単位円の点$(1,0)$での接線と直線OPの交点の$y$座標が$\tan{\theta}$となるのでした.

前回の記事では,単位円上の点が1周する間に,三角関数$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$がどのように増減するのかを考えました.

このそれぞれの三角関数の増減が理解できていれば,

  • $\sin{\theta}$のグラフ
  • $\cos{\theta}$のグラフ
  • $\tan{\theta}$のグラフ

を描くことができます.

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